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1、6.6梁的横向强迫振动,1主振型的正交性,这里讨论简单边界的梁的主振型正交性，梁可以是变截面或非匀质的。重写式（6.117）如下： （6.117） （6.126）设 、 分别是对应于固有频率 及 的主振型，由上式有 （6.127） （6.128）式（6.127）两边乘以并沿梁长对x积分，有 （6.129）利用分部积分，上式左边可写为,由于在梁的简单边界上，总有挠度或剪力中的一个与转角或弯矩中的一个同时为零，所以上式右边第一、二项等于零，成为 （6.130）将式（6.130）代入（6.129），得 （6.131）式（6.128）乘以 并沿梁长对x积分，同样可得到 （6.132）式（6.131）与
2、（6.132）相减后得 （6.133）如果 时 有，由上式必有 当 （6.134）,式（6.134）即梁的主振型关于质量的正交性，再由（6.132）及（6.130）可得 当 （6.135） 当 （6.136）上面两式即梁的主振型关于刚度的正交性。当 时，式（6.133）总能成立，令 （6.137） （6.138）常数 、 分别称为第j阶主质量及第j阶主刚度，由式（6.132）得知它们有下列关系： （6.139）如果主振型 中的常数 按下列归一化条件来确定： （6.140）,则得到的主振型称为正则振型，这时相应的第j阶主刚度 为 。上式与（6.134）可合写为 （6.141）由（6.135）、（
3、6.136）及（6.138）则得 （6.142） （6.143）2梁横向振动的强迫响应重写梁的横向强迫振动方程（6.113）如下： （6.144）将梁的挠度按正则振型 展开为如下的无穷级数： （6.145）,其中 是正则坐标，上式代入（6.144）后得上式两边乘以 并沿梁长对x积分，有由正交性条件（6.141）与（6.143），上式成为 （6.146）式（6.146）即第j个正则坐标方程，其中 （6.147） 即第j个正则坐标的广义力，由分部积分上式还可写为 （6.148） 假定量的初始条件为 （6.149）,将式（6.145）代入（6.149），有上面两式乘以 并沿梁长对x积分，由正交性（6
4、.141）得 （6.150）式（6.150）即第j个正则坐标的初始条件，于是式（6.146）的解为 （6.151）,将形如上式的各个正则坐标响应代入（6.145），即得到梁在初始条件下对任意激励的响应。若是零初始条件，梁对任意激励的响应则为 （6.152）如果作用在梁上的载荷不是分布力及分布力矩，而是图6-13所示的集中力P（t）及集中力矩M（t），利用第一章介绍的 函数，它们可表示为 （6.145）,（6.153） （6.154） 上面两式代入（6.148）后得到下列正则坐标的广义力： （6.148） （6.155）上式也可以根据将（6.153）、（6.154）代入（6.147）并利用 导数
5、的筛选性质（见（1.76）而得出。于是，零初始条件下梁的响应为 （6.156）现在来考虑等截面匀质梁对简谐激励的稳态响应，除了可用上述振型叠加法求解外，也可以用直接解法求。假设在梁上作用有下列简谐激振分布力： （6.157）,方程（6.114）可写为 （6.158）其中 ，设梁的稳态响应为 （6.159）代入（6.158）后得 （6.160）其中 ，相应于上式的齐次方程通解形如式（6.120），非齐次特解可用如下方法得到，对上式两边作拉氏变换，得其中 、 分别是 与 的拉氏变换，由上式解出,已知 的拉氏逆变换是 ，从而根据拉氏变换的 卷积性质得到非齐次特解为这样，方程（6.160）的通解为 （
6、6.161）上式中的四个常数由两端的边界条件确定，将求出 的代入（6.159），即得到梁的稳态响应。,例6.5 如图6-14所示，一简支梁在其中点受到常力P作用而产生静变形，求当力P突然移去时梁的响应。解： 由材料力学得知初始条件为,其中 为梁中央的静挠度。从例6.3已知两端简支梁的固有频率及主振型为将主振型代入（6.140）的归一化条件，得 （6.140）从而得知正则振型 中的系数 。由式（6.150）算出正则坐标的初始条件为 （6.150）,因没有激振力，正则广义力等于零，由式（6.151）得 （6.151）,于是梁的自由振动为由上式可见，梁在中央受常力作用产生的静变形只激发起对称振型的振
7、动。本题中梁的自由振动是由于静载荷突然移去而引起的，与例6.1一样，用下面的方法计算正则坐标的初始位移 可以避免计算静载荷作用下的静变形 。,设作用于梁的静载荷是分布力 ，因加速度为零，从式（6.144）得到将 代入上式，得上式两边乘以 ，并沿梁长对x积分，由正交性（6.143）得到对本题 ，因而由上式有 将 代入上式，即得到与前面相同的结果。,例6.6 图6-15的简支梁在中央作用有集中力矩 ，求梁的稳态响应。解： 由例6.5已知正则振型为其中 ，固有频率为 ，由式（6.155）求出正则广义力为,其中 ，第i个正则方程为由上式求出正则坐标的稳态响应为于是梁的稳态响应为由上式看出在梁中央作用的集中力矩只激发起反对称振型的振动。,
