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1、2.1.1椭圆及其标准方程,生活中的椭圆,思考,数学实验,(1)取一条细绳，(2)把它的两端固定在板上的两个定点F1、F2(3)用铅笔尖（P）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的 图形,1.在椭圆形成的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？2.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？3.在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？,F1,F2,(1)由于绳长固定，所以点P到两个定点的距离和是个定值,（2）点P到两个定点的距离和要大 于两个定点之间的距离,（一）椭圆的定义,平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数 （2a） （大于|F1F2 |）的点的轨迹叫椭圆。定点F1、F
2、2叫做椭圆的焦点。两焦点之间的距离叫做焦距（2C）。,椭圆定义的文字表述：,椭圆定义的符号表述：,(2a2c),M,F2,F1,小结：椭圆的定义需要注意以下几点,1.平面上-这是大前提2.动点M到两定点F1，F2的距离之和是常数2a 3.常数2a要大于焦距2C,注意：,1.当2a2c时,轨迹是（ ）,椭圆,2.当2a=2c时,轨迹是一条线段, 是以F1、F2为端 点的线段 3.当2a2c时,无轨迹,图形不存在. 4.当c=0时,轨迹为圆, 探讨建立平面直角坐标系的方案,建立平面直角坐标系通常遵循的原则：对称、“简洁”,解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面
3、直角坐标系(如图).,设M(x, y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距2c(c0)，M与F1和F2的距离的和等于正常数2a (2a2c) ，则F1、F2的坐标分别是(c,0)、(c,0) .,（问题：下面怎样化简？）,由椭圆的定义得，限制条件：,代入坐标,椭圆的标准方程的推导,两边除以 得,由椭圆定义可知,焦点在y轴：,焦点在x轴：,椭圆的标准方程,图 形,方 程,焦 点,F(c，0),F(0，c),a,b,c之间的关系,a2=b2+c2,MF1+MF2=2a (2a2c0),定 义,两类标准方程的对照表,注:,共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平
4、方和，右边是1.,哪个分母大，焦点就在哪个轴上。,练习1：判定下列椭圆的焦点在哪个轴，并指明a2、b2，写出焦点坐标。,答：在 X 轴（-3，0）和（3，0）,答：在 y 轴（0，-5）和（0，5）,答：在y 轴。（0，-1）和（0，1）,先定位，再定量,口答：下列方程哪些表示椭圆？,?,0b9,练一练：,a3,3、已知椭圆的方程为： ，则a=_，b=_，c=_，焦点坐标为：_焦距等于_;若CD为过左焦点F1的弦，则F2CD的周长为_,5,4,3,(3,0)、(-3,0),6,0,|CF1|+|CF2|=2a,例 求适合下列条件的椭圆的标准方程：,（1）两个焦点的坐标分别是（4，0）、（4，0
5、），椭圆上的一点P到两焦点距离的和等于10；,解： 椭圆的焦点在x轴上, 设它的标准方程为, 所求的椭圆的标准方程为, 2a=10， c=4,（2）两个焦点的坐标分别是（0，2）、（0，2），并且椭圆经过点,解： 椭圆的焦点在y轴上，,由椭圆的定义知，, 设它的标准方程为,又 c=2, 所求的椭圆的标准方程为,例2:如图，在圆,解：设M(x,y), P(x0,y0),所以M点的轨迹是一个焦点在X轴上的椭圆。,上任取一点P，过P,作x轴的垂线段PD，D为垂足。当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？,例3：若方程4x2+ky2=1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，求k的取值范围。,解：由 4x2+ky2=1,可得,因为方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，所以,即：k4,所以k的取值范围为0k4。,例4、化简：,答案：,|MF1|+ |MF2|=10,分析：点(x,y)到两定点(0,-3)、(0,3)的距离之和为定值10。,例5：动点P到两定点F1(-4,0)，F2(4,0)的距离之和为8，则动点P的轨迹为-（ ） A.椭圆 B.线段F1F2 C.直线F1F2 D.不能确定,B,再见！,
