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1、1,第四章 随机变量的数字特征,引例:,2,分布函数能够完整地描述随机变量的统计特性，但在一些实际问题中，只需知道随机变量的某些特征，因而不需要求出它的分布函数.,评定某企业的经营能力时，只要知道该企业人均赢利水平；,研究水稻品种优劣时，我们关心的是稻穗的平均粒数及每粒的平均重量；,检验棉花的质量时，既要注意纤维的平均长度，又要注意 纤维长度与平均长度的偏离程度，平均长度越长、偏离程度越小，质量就越好;,考察一射手的水平，既要看他的平均环数是否高，还要看他弹着点的范围是否小，即数据的波动是否小.,3,由上面例子看到，与随机变量有关的某些数值，虽不能完整地描述随机变量，但能清晰地描述随机变量在某
2、些方面的重要特征 , 这些数字特征在理论和实践上都具有重要意义.,随机变量某一方面的概率特性 都可用数字来描写,4,4.1 数学期望,4.1.1 数学期望的性质,4.1.2 随机变量函数的数学期望,4.1.3 数学期望的简单应用,5,设离散型随机变量X 的分布律为,若无穷级数,绝对收敛，则称其和为随机变量X 的数学期望,定义4.1.1,记为,6,设连续型随机变量X 的概率密度为,若积分,绝对收敛,则称此积分的值为随机变量X 的数学期望,数学期望简称期望，又称均值,数学期望反映了随机变量取值的平均值,它是一种加权平均,记为,注:,7,4.1.1 数学期望的性质,8,9,解:,例4.1.1,10,
3、例4.1.2,解:,解:,例4.1.3,11,例4.1.4,解:,12,例4.1.5,解:,13,常见随机变量的数学期望,14,15,引入随机变量,则有,例4.1.6,解:,16,故,（次）,17,例4.1.7,18,解:,19,20,例4.1.8,设X 服从参数为p(0p1)的Bernoulli分布,下面这个例子说明性质(4)在没有独立假设的条件下一般不成立,21,4.1.2 随机变量函数的数学期望,定理,22,23,例4.1.9,解:,24,解:,例4.1.10,25,4.1.3 数学期望的简单应用,例4.1.11,解:,设每年生产y 吨的利润为Y,2000 y 4000,26,故 y =
4、 3500 时，EY 最大， EY = 8250万元,27,例4.1.12,某保险公司规定,如果在1年内顾客的投保,事件A 发生,该公司就赔偿顾客a(元),若1年内事件A发生的概率为p,为使公司收益的期望值等于a 的10%,问该公司应该要求顾客交多少保险费?,解:,设顾客应交的保险费为x(元),公司收益为Y(元),这里x 是普通变量,Y 的取值与事件A 是否发生有关,由题意有,28,所以,由题意,所以,且已知,29,例4.1.13,30,为简单计，设 n 是 k 的倍数，设共分成 n / k 组,第 i 组需化验的次数为X i,解:,31,若,则EX n,例如，,32,课堂练习,( 2) 设二
5、维连续随机变量 的概率密度为,33,解:,34,35,4.2 中位数、众数和分位点,36,定义4.2.1,定义4.2.2,37,定义4.2.3,38,例4.2.1,例4.2.2,解:,解:,39,40,4.3 方差,4.3.1 方差的定义,4.3.2 方差的性质,41,引例 检验两批灯泡的质量,从中分别随机抽样5只,测得使用寿命(单位:小时)如下: A: 2000 1500 1000 500 1000 B: 1500 1500 1000 1000 1000 试比较这两批灯泡质量的好坏,计算得:平均寿命分别为:A:1200 B:1200,观察得:A中使用寿命偏离较大,B中使用寿命偏离较小,所以,
6、B产品质量较好,42,(X - EX)2 随机变量X 的取值偏离平均值的情况 , 是X的函数, 也是随机变量,E(X - EX)2 随机变量X的取值偏离平均值的平均偏离程度 数,注:,4.3.1 方差的定义,43,若 X 为离散型随机变量，概率分布为,若 X 为连续型随机变量，概率密度为f (x),常用的计算方差的公式：,注:,44,4.3.2 方差的性质,45,设 X P (), 求方差 DX,例4.3.1,解:,46,设 X B( n , p)，求方差DX,仿照上例求DX,引入随机变量,相互独立，,故,例4.3.2,解法1:,解法2:,47,设 X U( a , b)，求方差 DX,例4.
7、3.3,解:,设 X N ( , 2), 求方差 DX,例4.3.4,解:,48,例4.3.5,解:,49,常见随机变量的方差,50,51,例4.3.6,证:,52,已知X ,Y 相互独立，且都服从 N (0,0.5),故,例4.3.7,解:,求 E( | X Y | ),53,课堂练习,54,4.4 协方差及相关系数,4.4.1 协方差及相关系数的定义,4.4.1 协方差及相关系数的性质,55,问题 对于二维随机变量(X ,Y ):,已知联合分布,边缘分布,这说明对于二维随机变量，除了每个随机变量各自的概率特性以外，相互之间可能还有某种联系. 问题是用一个什么样的数去反映这种联系.,数,反映了随机变量X ,Y 之间的某种关系,56,定义,称为随机变量X ,Y 的 相关系数,而,4.4.1 协方差及相关系数的定义,注:,57,4.4.2 协方差及相关系数的性质,58,注:,59,注:,显然,60,解:,例4.4.1,61,62,例4.4.2,解:,63,64,例4.4.3,解:,65,66,67,68,课堂练习,
