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1、第二章 随机变量及其分布,描述方法：分布函数,离散型：概率分布,连续型：概率密度,函数的分布,第二章 随机变量及其分布,第一节 离散型随机变量及其分布第二节 随机变量的分布函数第三节 连续型随机变量及其概率密度第四节 随机变量函数的分布习题课,第一节 离散型随机变量及其分布,随机变量离散型随机变量的概率分布几种常见的离散型分布,一、随机变量（random variable，简记为r.v.）,在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来表示，由此就产生了随机变量的概念.,1、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）.,例如，掷一颗骰子出现的点数；,九月份大连的最高温度；,每天进入一号楼的人数；,
2、昆虫的产卵数；,2、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就是说，把试验结果数值化.,正如裁判员在运动场上不叫运动员的名字而叫号码一样，二者建立了一种对应关系.,（1）抽取产品检验是否合格,（2）投篮直到投中为止，观察投篮次数,（3）公交车站每10分钟过一辆车，观察候车时间,这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值单值函数.,e.,X(e),R,这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函数不一样！,（1）它随试验结果的不同而取不同的值（变异性），因而在试验之前只知道它可能取值的范围，而不能预先肯定它将取哪个值（随机性）.,（2）由于试验结果的出现具有一
3、定的概率，于是这种实值函数取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率.,称这种定义在样本空间上的实值单值函数X= X(e)为,随,量,机,变,简记为 r.v.,定义：设随机试验的样本空间为，如果对每个样本点，有一个实数X与之相对应，则有一个定义在上的单值实函数X=X()，称之为随机变量。,随机变量通常用大写字母X,Y,Z,W,N 等表示,有了随机变量, 随机试验中的各种事件，就可以通过随机变量的关系式表达出来.,引入随机变量的意义,如：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数用X表示，它是一个随机变量.,事件收到不少于1次呼叫,没有收到呼叫, X 1,X= 0,随机变量概念的产生是概率论发展史上的
4、重大事件. 引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究.,事件及事件概率,随机变量及其取值规律,我们将研究两类随机变量：,如“取到次品的个数”，“收到的呼叫数”等.,随机变量,离散型随机变量:随机变量的取值为有限个或可数无限多个。,连续型随机变量：随机变量的取值为若干个有限或无限区间。,如“电视机的寿命”，实际生活中常遇到的“测量误差”等.,随机变量的分类,这两种类型的随机变量因为都是随机变量，自然有很多相同或相似之处；但因其取值方式不同，又有其各自的特点.,学习时请注意它们各自的特点和描述方法.,从中任取3 个球,取到的白球数X是一
5、个随机变量 .,(1) X 可能取的值是0,1,2 ;,(2) 取每个值的概率为:,看一个例子,二、离散型随机变量的概率分布,定义1、随机变量X的所有可能取值是有限多个或可列无限多个, 这种随机变量称为离散型随机变量（discrete random variable，简记为d.r.v.） .,其中 pk (k=1,2, ) 满足：,（2）,定义2、设 xk (k=1,2, ) 是离散型随机变量 X 所取的所有可能取值，称,为离散型随机变量 X 的分布律.,用这两条性质判断一个函数是否是分布律,离散型随机变量表示方法,（1）公式法,（2）列表法,例1 袋中有标号为1、2、3、4的球若干，从中任取
6、一个，取到各球的概率与球上的号码成反比，求取到的球的标号X的概率分布。,例2,设随机变量X的分布律为（1）,k =1,2, ,试确定常数a、b .,（2）,例3 已知,求下列事件的概率：PX -1，PX -1，P0X 0.5,三、几种常见的离散型分布,含义（适用的随机试验）、取值、分布律、记号,（I）0-1分布（也称两点分布）1.含义：随机变量X为一重伯努利试验结果。2.取值： X =0，1,3.分布律：若,则称r.v. X服从参数为p的0-1分布。,4.记号： XB（1，p）,（II）二项分布1.含义：随机变量X为n重伯努利试验中事件A发生（成功）的次数。2.取值： X =0，1， n3.分
7、布律：若,则称r.v. X服从参数为n ，p的二项分布。,4.记号： XB（ n ，p）,例1.概率期末考试中有5道单选题，某同学全不会，只能猜测答案。问他能猜对3道或3道以上的概率？,解: 设X为猜对的题数 . 则,X B (5, 0.25)，,PX=0= C50(0.25) 0 (0.75) 5=0.23730PX=1= C51 (0.25) 1 (0.75) 4=0.39551PX=2= C52 (0.25) 2 (0.75) 3=0.26367PX=3= C53 (0.25) 3 (0.75) 2=0.08789PX=4= C54 (0.25) 4 (0.75) 1=0.01465PX
8、=5= C55 (0.25) 5 (0.75) 0=0.00098,则PX3=0.08789+0.01465+0.00098=0.10352,5.最可能成功次数：使PX=k取得最大值的k称为二项分布的最可能成功次数。,若(n+1)p不是整数，则(n+1)p为最可能成功次数；若(n+1)p是整数，则(n+1)p和(n+1)p-1为最可能成功次数。,例2.设有80台同类型设备，各台工作相互独立，发生故障的概率都是0.01，一台设备的故障只能一人处理。考虑两种配备维修工人的方法，其一是由4人维护，每人负责20台；其二是由3人共同维护80台，比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率。,（III
9、）几何分布1.含义：随机变量X为伯努利试验序列中直到事件A首次发生（首次成功）的试验次数。2.取值： X =1，2，3，3.分布律：若,则称r.v. X服从参数为p的几何分布。,4.记号： XG（p）,例3.一段防洪大堤按抗百年一遇洪水的标准设计，求建成后的第5年，第一次出现百年一遇洪水的概率。,（IV）泊松分布（Poisson）1.含义：随机变量X为稀有事件在一段时间的发生次数。2.取值： X =0，1，2，3，3.分布律：若,则称r.v. X服从参数为的泊松分布。,4.记号： XP（）或X（）,5.二项分布与泊松分布的关系 泊松(Poisson)定理 设0，n是正整数，若npn=，则对任一
10、固定的非负整数k，有,即当随机变量XB(n, p)，(n0,1,2,)，且n很大，p很小时，记=np，则,泊松定理表明，泊松分布是二项分布的极限分布， 当n很大，p很小时，二项分布就可近似地看成是参数=np的泊松分布。,例4.某种产品次品率为0.1%，求1000只产品中至少有2只次品的概率（用泊松分布近似计算）。,例5.假设每个粮仓内有老鼠的数目XP（），据统计，一个粮仓内有老鼠与无老鼠的概率相等，求下列事件的概率（1）一个粮仓内只有一只老鼠；（2）4个粮仓中，仅有一只老鼠的粮仓数目不超过1个。,对于离散型随机变量，如果知道了它的分布律,也就知道了该随机变量取值的概率规律. 在这个意义上，我们说,这一节，我们介绍了离散型随机变量及其分布律，并给出两点分布、二项分布、几何分布、泊松分布四种重要离散型随机变量.,离散型随机变量由它的分布律唯一确定.,四、小结,几个重要的离散型随机变量,作业55页，2（1），3（1），6，11，12，13，补充题7,
