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1、第一节 数学期望,离散型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望随机变量函数的数学期望数学期望的性质课堂练习 小结 布置作业,在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了.,然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的. 而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了.,因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的 .,在这些数字特征中，最常用的是,数学期望、方差、协方差和相关系数,一、离散型随机变量的数学期望,1、概念的引入：,我们来看一个引例.,例1 某车间对工人的生产情况进
2、行考察. 车工小张每天生产的废品数X是一个随机变量. 如何定义X的平均值呢？,我们先观察小张100天的生产情况,若统计100天,32天没有出废品;30天每天出一件废品;17天每天出两件废品;21天每天出三件废品;,可以得到这100天中 每天的平均废品数为,这个数能否作为X的平均值呢？,（假定小张每天至多出现三件废品 ）,可以想象，若另外统计100天，车工小张不出废品，出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天一般不会完全相同，这另外100天每天的平均废品数也不一定是1.27.,n0天没有出废品;n1天每天出一件废品;n2天每天出两件废品;n3天每天出三件废品.,可以得到n天中每天的平均废品数
3、为,(假定小张每天至多出三件废品),一般来说, 若统计n天 ,这是以频率为权的加权平均,当N很大时，频率接近于概率，所以我们在求废品数X的平均值时，用概率代替频率，得平均值为,这是以概率为权的加权平均,这样得到一个确定的数. 我们就用这个数作为随机变量X 的平均值 .,定义1 设X是离散型随机变量，它的分布率是: PX=xk=pk , k=1,2,请注意 :离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和. 数学期望简称期望，又称为均值。,若级数,绝对收敛，,则称级数,即,的和为随机变量X的数学期望，记为 ,例1,二、几种常见的离散型随机变量的期望,1两点分布,设,服从参数为,的两点分布，即,
4、则,2二项分布,设,，其概率分布为,则,令,，则,从而,泊松分布,一旅客8:20到车站,求他候车时间的数学期望.,例3 按规定,某车站每天8:009:00,9:0010:00都恰有一辆客车到站,但到站时刻是随机的,且两者到站的时间相互独立。其规律为：,二、连续型随机变量的数学期望,设X是连续型随机变量，其密度函数为f (x),在数轴上取很密的分点x0 x1x2 ,则X落在小区间xi, xi+1)的概率是,小区间xi, xi+1),阴影面积近似为,由于xi与xi+1很接近, 所以区间xi, xi+1)中的值可以用xi来近似代替.,这正是,的渐近和式.,该离散型r.v 的数学期望是,由此启发我们引
5、进如下定义.,定义2 设X是连续型随机变量，其密度函数为 f (x),如果积分,绝对收敛,则称此积分值为X的数学期望, 即,请注意 : 连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分.,例4,例5,若将这两个电子装置串联连接组成整机,求整机,寿命(以小时计) N 的数学期望.,的分布函数为,三、随机变量函数的数学期望,1. 问题的提出：,设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是X的期望，而是X的某个函数的期望，比如说g(X)的期望. 那么应该如何计算呢？,一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来. 一旦我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定
6、义把Eg(X)计算出来.,那么是否可以不先求g(X)的分布而只根据X的分布求得Eg(X)呢？,下面的定理指出，答案是肯定的.,使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的分布，一般是比较复杂的 .,(1) 当X为离散型时,它的分布率为P(X= xk)=pk ;,(2) 当X为连续型时,它的密度函数为f(x).若,定理 设Y是随机变量X的函数:Y=g (X) (g是连续函数),该公式的重要性在于: 当我们求Eg(X)时, 不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了. 这给求随机变量函数的期望带来很大方便.,上述定理还可以推广到两个或两个以上随 机变量的函数的情况。,例6,四、数学期望的性
7、质,1. 设C是常数，则E(C)=C;,4. 设X、Y 相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y);,2. 若k是常数，则E(kX)=kE(X);,3. E(X+Y) = E(X)+E(Y);,（诸Xi相互独立时）,请注意:由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出X,Y 独立,五、数学期望性质的应用,例8 用另一种方法求二项分布的数学期望,若 XB(n,p)，,则X表示n重贝努里试验中的“成功” 次数.,现在我们来求X的数学期望 .,可见，服从参数为n和p的二项分布的随机变量X的数学期望是 n p.,XB(n,p),若设,则 X= X1+X2+Xn,= np,i=1,2，n,因为 P(Xi =1)= p,P(Xi =0)= 1-p,所以 E(X)=,则X表示n重贝努里试验中的“成功” 次数.,例9 把数字1,2,n任意地排成一列，如果数字k恰好出现在第k个位置上，则称为一个巧合，求巧合个数的数学期望.,七、小结,这一讲，我们介绍了随机变量的数学期望，它反映了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征.,接下来的一讲中，我们将向大家介绍随机变量另一个重要的数字特征：,方差,八、 布置作业,习题四 3，12， 13,
