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1、辅助线在中考中的应用专题, 三角形中的辅助线,三角形一章是同学们学习几何证明的基础.在学习过程中,有些同学常常对几何证明题辅助线的添加方法显得束手无策,下面我们就来一起探究三角形中常见辅助线的作法.,人说几何很困难，难点就在辅助线. 辅助线，如何添？把握定理和概念. 还要刻苦加钻研，找出规律凭经验. 图中有角平分线，可向两边作垂线. 也可将图对折看，对称以后关系现.,角平分线平行线，等腰三角形来添. 角平分线加垂线，三线合一试试看. 线段垂直平分线，常向两端把线连. 要证线段倍与半，延长缩短可试验. 三角形中有中线，延长中线等中线.,1.三角形中的性质: (1)三角形的两边之和大于第三边,两边
2、之差小于第三边; (2)三角形的三内角之和为180度; (3)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和.,2.三角形中的线 :中线;高线;角平分线;中垂线.,(1)等腰三角形;(2)等边三角形;(3)直角三角形;(4)等腰直角三角形.,3.特殊的三角形 :,1.中线倍长法,2.截长补短法,3. 角平分线构造全等法,4.垂直平分线,5.补形法,常 用 辅 助 线,连接已知点，构造全等三角形,典例1:如图,AB=AD,BC=DC,求证:B=D.,A,C,B,D,1.连结AC,构造全等三角形,2.连结BD,构造两个等腰三角形,典例2:如图,AB=AE,BC=ED, B=E,AMCD, 求证:点M
3、是CD的中点.,A,C,B,D,连结AC、AD,构造全等三角形,E,M,连接已知点，构造全等三角形,连接已知点，构造全等三角形,典例3:如图,AB=AC,BD=CD, M、N分别是BD、CD的中点，求证：AMB ANC,A,C,B,D,连结AD,构造全等三角形,N,M,典例4:如图,AB与CD交于O, 且AB=CD，AD=BC，OB=5cm，求OD的长.,A,C,B,D,连结BD,构造全等三角形,O,连接已知点，构造全等三角形,典例1:如图,ABC中, C =90o,BC=10,BD=6, AD平分BAC,求点D到AB的距离.,过点D作DEAB,构造了:全等的直角三角形且距离相等,A,C,D,
4、B,E,角平分线上向两边作垂线段,典例2:如图,ABC中, C =90o,AC=BC, AD平分BAC,求证:AB=AC+DC.,A,C,D,过点D作DEAB,构造了:全等的直角三角形且距离相等,B,E,角平分线上向两边作垂线段,典例3:如图,梯形中, A= D =90o, BE、CE均是角平分线,求证:BC=AB+CD.,过点E作EFBC,构造了:全等的直角三角形且距离相等,思考: 你从本题中还能得到哪些结论?,A,C,D,B,F,E,角平分线上向两边作垂线段,2.如图,梯形中, A= D =90o, BE、CE均是角平分线, 求证:BC=AB+CD.,延长BE和CD交于点F,构造了:全等的
5、直角三角形,F,思考: 你从本题中还能得到哪些结论?,A,C,D,B,E,角平分线上向两边作垂线段,1,2,1,2,典例4:如图,OC 平分AOB, DOE +DPE =180o, 求证: PD=PE.,A,C,D,过点P作PFOA,PG OB,构造了:全等的直角三角形且距离相等,B,F,思考: 你从本题中还能得到哪些结论?,E,P,G,O,角平分线上向两边作垂线段,1.AD是ABC的中线，,A,B,C,D,E,延长AD到点E，使DE=AE，连结CE.,中线倍长,已知，如图ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是。,已知ABC中，AB=8，AC=6，连BC上的中线AD=5，求BC的
6、长,如图,ABC中,A=90o, D在AB的垂直平分线上,E在AC的垂直平分线上.若BC=6cm,求ADE的周长.,B,A,C,D,E,AD+AE+DE=,BD+CE+DE=,BC,垂直平分线两边连,3.如图,A、A1关于OM对称, A、A2关于ON对称.若A1 A2 =6cm,求ABC的周长.,B,A,C,O,M,AB+AC+BC=,A1B+ A2C+BC=,A1A2,A1,A2,N,垂直平分线两边连,4.如图, ABC中，MN是AC的垂直平分线.若AN=3cm, ABM周长为13cm，求ABC的周长.,B,A,C,M,AB+BC+AC=,AB+BM+MC+6=,N,AB+BM+AM+6=,
7、13+6=19,垂直平分线两边连,5.如图, ABC中，BP、CP是ABC的角平分线，MN/BC.若BC=6cm, AMN周长为13cm，求ABC的周长.,B,A,C,P,AB+AC+BC=,AM+ BM+AN+NC+6=,N,AM+ MP+AN+NP+6=,13+6=19,M,AM+AN+MN+6=,等腰三角形性质,例4.如图,BCAB,BD平分ABC,且AD=DC,求证AC=180.,分析:我们要证AC=180.设法将A和C“搬”到一块,拼成一个平角,现有以下几种方式.,又BEDDEC=180,故AC=180.,证法1:如图在BC上截取BE=AB,连DE,可证ABDEBD.,得到DE=AD
8、=DC,A=DEB,C=DEC,证法2:如图延长BA至F,使BF=BC连接DF.则有BDFBDC,得CD=DF=AD,C=F.由BAF为平角可证结论成立.,证法3:如图,过D分别作ABC的两边的垂线,E、F为垂足,则DE=DF,易证ADFCDE,有C=DAF,故BADC=180.,证法4:如图,过A作BD垂线交BC于G,交BD于H,连DC,易证ABHGBH,则AB=BG,AH=HG,根据等腰三角形的“三线合一”,知DG=AD=DC.ABDGBD，,BAD=BGD,故BADC=180 .,点评：1.四种证法都利用了“拼”的方法,所不同的是有截取、延长、作垂线等方法.2.前三种方法是利用构造全等三
9、角形和等腰三角形作转化,第四种方法是反复运用等腰三角形的性质进行转化,这些方法具有代表性.3.几何证题中要学会转化思想,它是一种常用的数学思想方法,必须熟练掌握.,1.已知:BC平分EBD,AFBC,F是ED的中点.求证:EG=AD,分析:有中线且证明两线段相等,一般延长构造全等三角形.,延长GF到 H使FG=HF, 连接DH .,证明:延长GF到 H使FG=HF, 连接DH ., EG=DH,2.在等腰三角形ABC的底边BC上取任意一点D,过点D作DEAB, DFAC.过点B作AC边上的高BG.求证:等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.,分析:如图所示要证两线段之和等于第三
10、边要么截长要么补短两种方法都行.由题意三条线段都是高线也可用面积相等来做., DE+DF=BG,方法一:(截长法),H,过D做DH BG交BG于H.,则DF=GH, BDEDBH得BH=DE, DE+DF=BG,方法二:(补短法),延长FD,过B做BH FD交FD于H.,则HF=GB, BDEDBH得DH=DE,H,方法三:(等积法)连接AD,3.已知如下图示:D、E为ABC内两点,求证:ABACBDDECE.,分析:本题求证几边之和大于另外几边之和的问题,通常构造三角形,利用两边之和大于第三边,从而求解.有两种方法.,证明:(法一)将DE两边延长分别交AB、AC 于M、N,在AMN中,AMA
11、N MDDENE; (1),在BDM中,MBMDBD; (2),在CEN中,CNNECE； (3),由(1)(2)(3)得:AMANMBMDCNNEMDDENEBDCE,ABACBDDEEC,法二:如右图, 延长BD交 AC于F,延长CE交BF于G,在ABF和GFC和GDE中有: ABAF BDDGGF(三角形两边之和大于第三边) （1）,GFFCGECE(同上)（2）,DGGEDE(同上)（3）,由(1)(2)(3)得:ABAFGFFCDGGEBDDGGFGECEDE,ABACBDDEEC.,4.如图:已知D为ABC内的任一点,求证:BDCBAC.,分析:要证明两角的大小,尽量把这两角向一个
12、三角形中转化,利用大角对大边;如果不行可以利用三角形的外角定理;也可以放缩.,同理DECBAC,证法一:延长BD交AC于点E,这时BDC是EDC的外角,BDCBAC,BDCDEC,即：BDCBAC.,证法二:连接AD,并延长交BC于F,BDF是ABD的外角BDFBAD，,同理，CDFCAD,BDFCDFBADCAD,5.已知ABC,AD是BC边上的中线,分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形,如下图, 求证EF2AD.,分析:本题要证倍半需延长短的线段.,延长AD到G 使DG=AD, 连接BG,证明:延长AD到G 使DG=AD, 连接BG.可证BGDCAD,23，BG=AC,AB
13、E和ACF是等腰直角三角形.BAE=CAF=90,AB=AE,AC=AF.,EAF=360-90-90-(1+2)=180-(1+2), EF=AG=2AD,3,在ABG中ABG=180-(1+3)ABG=EAF,可证EAFABG (SAS),6.如图:已知ACBD,ADAC于A ,BCBD于B,求证:ADBC,分析:要证两线段的长相等,需要构造全等三角形,利用全等三角形对应边相等即可.,可分别延长DA,CB, 交于E点,证明:(方法一)分别延长DA,CB, 交于E点, ADAC BCBD (已知) CAEDBE 90 (垂直的定义),EDEAECEB 即:ADBC.,在DBE与CAE中 ,D
14、BECAE (AAS),EDEC EBEA (全等三角形对应边相等),证明:(方法二)在ADC与BCD中 ADAC BCBD (已知),BD=AC,DC(共用),ADCBCD (HL),ADBC(全等三角形对应边相等),CADDBC 90 (垂直的定义),7.已知:如图,AC、BD相交于O点,且ABDC, ACBD,求证:AD.,分析:由图知是“又字”形轴对称图形,要证两角相等要么构造等腰三角形;要么构造全等.,AD(全等三角形对应边相等),证明:连接BC,在ABC和DCB中,ABCDCB (SSS),8.在ABC中,ADBC,CADBAD,求证:ACAB,分析:要证ACAB只需利用大边对大角
15、.,方法二:在DC上截取DE=BD,方法一:可直接证明BC,证明:(方法二)在DC上截取DE=BD,连接AE,则可证明ABDADE,ACAB,BAED,AEDC,AECB,AECC,特殊四边形,夯实基础 步步为营,四边形,平行四边形出现，对称中心等分点。梯形问题巧转换，变为三角或平四。平移腰，移对角，两腰延长作出高。如果出现腰中点，细心连上中位线。上述方法不奏效，过腰中点全等造。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。,特殊四边形,1利用一组对边平行且相等构造平行四边形例1 如图，已知点O是平行四边形ABC
16、D的对角线AC的中点，四边形OCDE是平行四边形.求证:OE与AD互相平分.,一、与平行四边形有关的辅助线作法,证四边形AODE为平行四边形,特殊四边形,2利用两组对边平行构造平行四边形例2 如图，在ABC中，E、F为AB上两点，AE=BF，ED/AC，FG/AC交BC分别为D，G.求证:ED+FG=AC.,特殊四边形,3利用对角线互相平分构造平行四边形例3 如图，已知AD是ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求证：BF=AC.,特殊四边形,和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线和作高，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题.例4 如图，在ABC中，ACB=90，B
17、AC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE=AC，EF/BC交AD于点F，求证：四边形CDEF是菱形.,二、和菱形有关的辅助线的作法,对角线互相垂直且平分,特殊四边形,例5 如图，四边形ABCD是菱形，E为边AB上一个定点，F是AC上一个动点，求证：EF+BF的最小值等于DE长.,二、和菱形有关的辅助线的作法,特殊四边形,和矩形有关的题型一般有两种：（1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题；（2）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题.,三、与矩形有辅助线作法,例6 如图，已知矩形ABCD内一点，PA=3， PB=4，PC=5.求 PD
18、的长.,特殊四边形,作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线.例7 如图，过正方形ABCD的顶点B作BE/AC，且AE=AC，又CF/AE.求证：BCF= AEB,四、与正方形有关辅助线的作法,AHBO为正方形,AEB=30O,BCF=15O,旋转,例正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求EAF的度数,特殊四边形,和梯形有关的辅助线的作法是较多的.主要涉及以下几种类型：（1）作一腰的平行线构造平行四边形和特殊三角形；（2）作梯形的高，构造矩形和直角三角形；（3）作一对角线的平行线，构造直角三角形和平行四边形；（4） 延长两腰构成三角形；（5）作两腰的平行线
19、等.,五、与梯形有关的辅助线的作法,特殊四边形,例8 已知，如图，在梯形ABCD中，AD/BC，AB=AC，BAC=90，BD=BC，BD交AC于点0.求证：CO=CD.,作双高,BDC=COD=75O,作高,特殊四边形,例9 如图，在等腰梯形ABCD中，AD/BC，ACBD，AD+BC=10， DEBC于E.求DE的长.,平移一条对角线,5,利用三角形中位线,特殊四边形,例10 如图，在四边形ABCD中，AC于BD交于点0，AC=BD，E、F分别是AB、CD中点，EF分别交AC、BD于点H、G.求证：OG=OH.,平移一腰例如图所示，在直角梯形ABCD中，A90，ABDC，AD15，AB16
20、，BC17. 求CD的长。,平移两腰,如图，在梯形ABCD中，AD/BC，BC=90，AD=1，BC=3，E、F分别是AD、BC的中点，连接EF，求EF的长。,分析：利用平移两腰把梯形底角放在一个三角形内。,已知：梯形ABCD中，AD/BC，AD=1，BC=4，BD=3，AC=4，求梯形ABCD的面积。,分析：通过平移梯形一对角线构造直角三角形求解。,在梯形ABCD中，AD为上底，ABCD，求证：BDAC。,分析：作梯形双高利用勾股定理关系可得。,（1）如图，在梯形ABCD中，AD/BC，E、F分别是BD、AC的中点，求证：EF/AD,分析：联DF并延长，利用全等即得中位线。,（2）在梯形AB
21、CD中，ADBC， BAD=90，E是DC上的中点，连接AE和BE，求证AEB=2CBE。分析：在梯形中出现一腰上的中点时，过这点构造出两个全等的三角形达到解题的目的。,丰收园,通过这次课的学习，你又增加了哪些收获？能与大家一起分享吗？,谢谢大家！,巧求三角形中线段的比值,例 1. 如图 1，在ABC 中，BD：DC1：3，AE：ED2：3，求 AF：FC。解：过点 D 作 DG/AC，交 BF 于点 G所以 DG：FCBD：BC因为 BD：DC1：3 所以 BD：BC1：4即 DG：FC1：4，FC4DG因为 DG：AFDE：AE 又因为 AE：ED2：3所以 DG：AF3：2,例 2. 如图 2，BCCD，AFFC，求 EF：FD,解：过点 C 作 CG/DE 交 AB 于点 G，则有 EF：GCAF：AC因为 AFFC 所以 AF：AC1：2即 EF：GC1：2，因为 CG：DEBC：BD 又因为 BCCD所以 BC：BD1：2 CG：DE1：2 即 DE2G,
