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1、24.2.2.直线与圆的位置关系-切线的性质和判定,.O,l,特点：,.O,叫做直线和圆相离。,直线和圆没有公共点，,l,特点：,直线和圆有唯一的公共点，,叫做直线和圆相切。,这时的直线叫切线， 唯一的公共点叫切点。,.O,l,特点：,直线和圆有两个公共点，,叫直线和圆相交，,这时的直线叫做圆的割线。,直线与圆的位置关系 一、用公共点的个数来区分,.A,.A,.B,切点,2、直线和圆相切,d = r,3、直线和圆相交,d r,d,r,二、用圆心o到直线l的距离d与圆的半径r的关系来区分,1、直线和圆相离,d r,下雨天当你快速转动雨伞时飞出的水，在砂轮上打磨工件飞 出的火星，都是沿着圆的切线的
2、方向飞出的,问题：1 当你在下雨天快速转动雨伞时水飞出的方向是什么方向？2 砂轮打磨工件飞出火星的方向是什么方向？,切线的判定,切线,切点,经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。,OA是O的半径, lOA于点A l 是O的切线.,几何语言,经过半径外端；垂直于这条半径定理中的两个条件缺一不可,判断题：(1) 垂直于圆的半径的直线一定是这个圆的切线。( )(2) 过圆的半径的外端的直线一定是这个圆的切线。( ),随堂练习,反例,1.如图 AB是O的直径,ABT=45AT=AB, 求证AT 是O的切线.,证明:, AT=AB,ABT = 45，, ATB = ABT=45 ., TAB
3、= 180ATBABT = 90., TAOA., AT是O的切线.,又 OA是O的半径,例1,直线AB经过圆O上的C，并OA=OB，AC=BC，求证：直线AB是圆O 的切线,证明:连接OCOA=OB,CA=CB,OAB是等腰三角形, OC是底边AB上的中线OCAB且OC为半径AB是O的切线,有交点，连半径，证垂直,.,如图，线段AB经过圆心O，交O于点A、C，BADB30，边BD交圆于点D.，BD是O的切线吗？为什么？,练习2,有交点，连半径，证垂直,证明：,过点O作OEBC于E,点O为ABC平分线上一点，ODAB于D,OEOD,又OD为O半径,即圆心到直线BC的距离等于半径 BC与O相切,
4、如图：点O为ABC平分线上一点，ODAB于D，以O为圆心，OD为半径作圆。求证：BC是O 的切线。,o,无交点，作垂直，证半径,作OEBC于E,当已知条件中没有明确直线与圆是否有公共点时,辅助线：是过圆心作这条直线的垂线段。,再证明这条垂线段的长等于半径。,连结OC,当已知条件中直线与圆已有一个公共点时,辅助线：是连结圆心和这个公共点。,再证明这条半径与直线垂直。,如图已知直线AB过O上的点C，并且OAOB，CACB求证：直线是O的切线,如图：点O为ABC平分线上一点，ODAB于D，以O为圆心，OD为半径作圆。 求证：BC与作O相切。,切线中常用辅助线添加方法,探索切线性质,如图,直AB与O相
5、切于点C,直线AB与半径OC有怎样的位置关系?说说你的理由.,直线AB垂直于半径OC.,小颖的理由是:右图是轴对称图形,OC所在直线是对称轴,沿直线OC对折图形时,CA与CB重合,因此,ACO=BCO=90.,A,B,O,C,小亮的理由是:直线AB与半径OC要么垂直,要么不垂直.(反证法),证明:假设AB与OC不垂直,过点O作一条直径垂直于AB,垂足为M, 垂线段最短，,老师期望:你能看明白(或掌握)用反证法说理的过程.,垂线段最短 OMOC,即圆心到直线AB的距离小于O的半径 AB与O相交.这与已知条件“直线与O相切”相矛盾.,A,B,O,C, AB与OC垂直.,M,如图,直径AB与O相切于
6、点C,直线AB与半径OC有怎样的位置关系?说说你的理由.,切线的性质,圆的切线垂直于经过切点的半径。, AB是o的切线,C是切点 AB OC.,几何语言,例2：如图，点A是O外一点，OA交O于点B，AC是O的切线，切点是C，若A=30，BC=1，求切线AC的长。,证明:连接OC AC是O的切线OCAC A=30 COA=60 OC=OB OBC是等边三角形 OC=OB =BC=1在RtAOC中 A=30, OC=1 AO=2,1,300,小结,要判定一条直线是圆的切线，我们已学过三种方法，如下表所示：,有交点，连半径，证垂直,无交点，作垂直，证半径,二、切线的性质：,（1）切线和圆只有一个公共
7、点；,（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；,（3）切线垂直于过切点的半径；,（4）经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；,（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心。,练习AC是直径，AB和CD是切线，A,C是切点,判断AB和CD的位置关系?证明你的结论.,练习：如右图所示，已知OC平分AOB，D是OC上任意一点，D与OA相切于点E。那么，OB是D的切线吗？请说明理由。,E,C,D,解：OB是D的切线 。理由如下：,又 OC平分AOB， DFOB, DF DE, OB是D的切线 。, OEOA, OA 与D 相切于点E,连结DE，过D点作DFOB，垂足为F。,F,即 d r,已知：如图， AB是O的
8、直径，BC是O的切线，切点为B，OC平行于弦AD。 求证: (1) BOC=DOC； (2) DC是O的切线。,证明：（1）OAOD，12，ADOC，13，2434即BOCCOD（2）ODOB，OCOC，BOCCODODCOBCODCOBCBC是O的切线，OBC90ODC90 OD是圆的半径DC是O的切线,1,2,3,4,O,已知: RtABC中，BAC=90o,E是AB的中点，以AC为直径作圆，交BC于点D，求证：ED是圆的切线。,1,2,3,4,已知：AB是直径，AD是切线，求证：DAC=ABC,C,已知：AB是直径，AD是切线，求证：DAC=ABC,O,已知：AB是直径， DAC=ABC 求证：AD是切线,C,已知：AB是直径， DAC=ABC求证： AD是切线，,O,
