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1、混沌与分岔,Content,混沌与分岔的起源与发展混沌的概念混沌的特点混沌现象举例分岔的概念混沌的研究方法分岔的研究方法混沌在现代科技领域的应用,混沌与分岔的起源与发展,公认的最早发现混沌的是伟大的法国数学家，物理学家庞加莱，他是在研究天体力学，特别是在研究三体问题时发现混沌的。他发现三体引力相互作用能产生惊人的复杂行为，确定性动力学方程的某些解有不可预见性。直到20世纪六十年代后，混沌现象才引起学术界的广泛注意，到七十年代才诞生了还不大成熟的“混沌学”。其后，“混沌学”得到了迅速发展，到了八十年代，更在世界上掀起了混沌现象研究的热潮。,三体问题的进展,16世纪以来科学家就在寻找这一问题的简单
2、特解即特殊情况下的简单稳定运动轨道。,欧拉,三个质量相同的物体呈直线等距离排列，两端物体绕中间物体做圆周运动。,拉格朗日,三个等质量的物体，排成等边三角形绕三角形的中心做圆周运动。,近代计算机运算,三个等质量的物体在一条“8”字形轨道上运动。,-宇宙中还没找到。,混沌与分岔的起源与发展,混沌现象发现以后，关于分岔与混沌之间联系的研究得到迅速发展，如：Rulle和Takens发现环面分岔通向混沌；Feigenbaum发现倍周期分岔通向混沌；Pomeou等发现伴随鞍结分岔的阵发性通向混沌。,混沌的概念,混沌，英文为chaos，意思是混乱，紊乱。混沌是指发生在确定系统中貌似随机的无规则或不规则运动。
3、然而混沌作为一门科学发展至今，仍没有一个准确、完整、科学的定义，不同领域的科学家往往对其有不同的理解。混沌一词由李天岩（Tian-yan Li）和约克（Yorke）于1975年首先提出。混沌的定性描述，“混沌是确定性非线性系统的有界的敏感初始条件的非周期行为”。,混沌的概念,n周期点的定义：如果对于某x0 ，有f (n)(x0)=x0，但对于小于n的自然数k，有f (k)(x0) x0 ，则称x0为f 的一个n周期点。n周期轨道的定义：当x0为f 的一个n周期点时，称x0, f (1)(x0), f (2)(x0), f (n-1)(x0)为f 的n周期轨道。Li-Yorke定理： 设连续自映
4、射 ，I 是 R 的一个闭区间，如果： 存在一切周期的周期点；存在不可数子集S，S不含周期点，使得 118则称 f 在S上是混沌的。,混沌的概念,Li-Yorke定理给出了混沌数学上的定义，它说明混沌系统应该具有三种性质：存在所有周期的周期轨道；存在一个不可数集，此集只含有混沌轨道，任意两个轨道既不趋向远离也不趋向接近，两种状态交替出现；任一混沌轨道不趋于任一周期轨道。,混沌的特点,对初值的敏感性 混沌对初值具有敏感依赖性，初值的微小差别会导致未来的混沌轨道的巨大差别,正是所谓“失之毫厘，谬以千里”。1963年，荷兰科学家洛伦兹(Hendrik Antoon Lorenz)在大气科学杂志上发表
5、了“决定性的非周期流”的著名论文。该论文以一个底部加热、顶部冷却的两维运动流体块中的对流为模型，提出了著名的Lorenz方程。Lorenz用数值方法揭示了该模型中存在混沌运动，并发现系统初值的微小变化会导致轨道在长时间以后完全不同，即解对初值的极端敏感性，就是著名的蝴蝶效应。,混沌的特点,内在随机性 确定性行为一定产生于确定性方程，而随机行为却产生于两类方程：一类是随机微分方程，一类是确定性方程。随机微分方程表现出来的随机性是由随机参数、随机初始条件或随机外界强迫所产生，常称为外在随机性。确定性方程本身不包含任何随机因素，但在一定的参数范围却能产生出看起来很混乱的结果，把这种由确定性方程产生的
6、随机性称之为内在随机性。混沌是确定性非线性系统的内在随机性，这是混沌的重要特征之一。,混沌的特点,长期不可预测性 由于初始条件仅限于某个有限精度，而初始条件的微小差异可能对以后的时间演化产生巨大的影响，因此不可能长期预测将来某一时刻之外的动力学特性，即混沌系统的长期演化行为是不可预测的。,混沌的特点,分形性 分形(Fractal)这个词是由曼德布罗特(B.B.Mandelbrot)在70年代创立分形几何学时所使用的一个新词。所谓分形是指n维空间一个点集的一种几何性质，它们具有无限精细的结构，在任何尺度下都有自相似部分和整体相似性质，具有小于所在空间维数的非整数维数，这种点集叫分形体。分维就是用
7、非整数维-分数维来定量地描述分形的基本特性。,混沌的特点,普适性 普适性包括两种，即结构的普适性和测度的普适性。当系统趋于混沌时，所表现出的特征具有普适意义，其特征不因具体系统的不同和系统运动方程的差异而变化。,混沌的特点,遍历性 遍历性也称为混杂性，混沌运动在有限时间内能够到达混沌区域内任何一点。,混沌的特点,奇怪吸引子相对于简单吸引子（不动点、极限环、环面）相空间的子集合又称混沌吸引子。由无限层的条带经过伸长和折叠的几何图像。它表示系统的状态随时间呈无规则的非周期变化;具有混沌的一切特征，对初始条件的敏感性，具有非整数的维数，即使原来的微分方程连续的依赖于参数，奇怪吸引子的结构也不是连续随
8、参数变化，而往往是在参数变化的过程中其整体结构会发生突变，奇怪吸引子具有无穷嵌套的自相似结构。,正如我们前面所说的，系统的混沌运动在相空间中无穷地缠绕、折叠和扭结，构成了具有无穷层次的自相似结构，这种结构称为奇异吸引子。典型的有： 一、奇异Lorenz吸引子 考虑Lorenz非线性微分方程组,通常，人们用常数 ，另一组是 。有时称 为Prandtl数， 为Rayleigh（雷利）数。系统 既不能形成极限环（一个吸引集，它的轨道或轨线收敛且轨线具有周期性）也不能达到一个稳定状态，代之的是一个确定性的混沌。像其他混沌系统一样，Lorenz系统对初值很敏感，不管两个初始状态如何地挨近，它终将还是离散
9、。尽管方程组看起来是足够地简单，但它还是引出了令人惊异的轨道，即奇异吸引子。,二、奇异Rossler(罗斯洛)吸引子 Rossler非线性微分方程组来源于化学动力学的研究，该方程组如下：其中 。系统 也不能形成极限环，更不能达到一个稳定状态，得到的只是一个确定性的混沌。也像其他混沌系统一样，Rossler系统对初值非常敏感。不管两个初始状态如何地接近，最终还是发,散。尽管方程组看起来并不复杂，但它还是产生出令人眼花缭乱和奇异的轨道，即奇异吸引子。,混沌的特点,几种典型的混沌吸引子,Chens 吸引子,Lorenz 吸引子,Rossler 吸引子,混沌现象举例,机床切削金属时或打印机机头因冲击而
10、引起的混沌振动正常的脑电波则近乎随机讯号，其脑电图曲线代表的就是典型的混沌现象单摆是我们熟知的确定性运动的典型，但当角度大到一定程度并有驱动力和阻力时也居然能够进入混沌状态湍流、三体问题、蝴蝶效应、昆虫繁衍,混沌现象举例-蝴蝶效应,1961年美国气象学家洛伦兹利用他的一台老爷计算机，根据他导出的描述气象演变的非线性动力学方程进行长期气象预报的模拟数值计算，探讨准确进行长期天气预报的可能性。有一次，洛伦兹为了检验上一次的计算结果，决定再算一遍。但他不是从上一次计算时的最初输入的数据开始验算，而是以一个中间结果作为验算的输入数据。他发现，经过一段重复过程后，计算开始偏离上次的结果，甚至大相径庭。就
11、好比一个计算结果预报几个月后的某天是晴空万里，另一个计算结果则告诉你这一天将电闪雷鸣！后来洛伦兹发现两次计算的差别只是第二次输入中间数据时将原来的0.506127省略为0.506。洛伦兹意识到，因为他的方程是非线性的，非线性方程不同于线性方程，线性方程对初值的依赖不敏感，而非线性方程对初值的依赖极其敏感。正是初始条件的微小误差导致了计算结果的巨大偏离。由此洛伦兹断言：准确地作出长期天气预报是不可能的。对此，洛伦兹作了个形象的比喻：一只蝴蝶在巴西扇动一下翅膀会在美国的得克萨斯州引起一场龙卷风，这就是蝴蝶效应。,混沌现象举例-昆虫繁衍,假定有某种昆虫，在不存在世代交叠的情况下，即每年夏天成虫产卵后
12、全部死亡，第二年春天每个虫卵孵化为虫。很显然，若产卵数大于1，则虫口就会迅速增加，“虫满为患”。但在虫口数目增大的同时又由于争夺有限的食物和生存空间而不断发生咬斗事件，也可能因接触感染而导致疾病蔓延，这些又会使虫口减少。综合考虑正增长和负增长，即鼓励和抑制这两种因素的作用，经过一定的数学抽象和变换后，在1976年生物学家罗伯特.梅最终得到虫口方程如下：Xn+1=Xn (1Xn) 式中各量的取值范围为 n：1，2，3，； Xn：0，1； ：0，4,混沌现象举例-昆虫繁衍,假定虫口环境所能支撑和供应的最大虫口限额为N0，且N01。第n代虫口数为Nn，则Xn=Nn/N0，是为第n代的相对虫口数。显然
13、，1就是最大虫口数目，故Xn的值不能超过1。是控制参量，虫口模型要求取值0，4，这是因为在4时会出现发散现象，方程就将失去意义。如对 Xn+1=5Xn(1Xn)， 当代入Xn=0.5后会得到Xn+1=1.25，而最大相对虫口数只能为1，Xn+1=1.25显然没有意义。,混沌现象举例-昆虫繁衍,下面取为不同值对虫口方程进行迭代求解：取：01迭代容易验证，在01之间时，无认初始值取多少，对方程Xn+1=Xn (1Xn)迭代归宿均为确定值零。这是一个最平凡的1周期解，对应系统的稳定态。取：13迭代迭代也是收敛的，迭代结果总是趋向于一个稳定的不动点，这是一个非零的1周期解，同样对应系统的稳定状态。对方
14、程Xn+1=2Xn (1Xn)作迭代，取X1=0.1则有X2=0.18，X3=0.2952，X4=0.416111392，X5=0.485924299，X6=0.4999604721，X7=0.499999687，X8=0.499999999可见很快收敛于X*=0.5。又对方程Xn+1=2.5Xn (1Xn)作迭代，取X1=0.1也只须十几次迭代就收敛于X*=0.6了。不过与上一迭代趋近方式有所不同，几次迭代后结果就在X*值上下产生小幅振荡，并最终收敛于X*=0.6。,混沌现象举例-昆虫繁衍,取：33.569迭代迭代结果开始出现跳跃情况，倍周期分岔开始。其中在33.449之间为2周期，在3.4
15、493.544间为4周期随着的增加，分岔越来越密，混沌程度越来越高，直至=3.569时分岔周期变为，最后“归宿”可取无穷多的不同值，表现出极大的随机性。而周期无穷大就等于没有周期，此时系统开始进入完全的混沌状态。混沌区对应取值3.5694。,分岔的概念,分岔(bifurcation)是非线性领域的重要理论。分岔是指动力学系统中，控制参量改变时，其各自的拓扑结构发生突然变化。分岔现象是非线性问题中所特有现象，失稳是其发生的前提。分岔之后，系统不同状态间便发生不连续的过渡，这就是突变。然后经过不断地分岔，最后达到的终态即混沌。由此可见分岔在许多非线性现象中起着桥梁作用。分岔问题可以分成静态分岔和动
16、态分岔。静态分岔指系统的平衡点的稳定性在分岔值附近发生变化，如鞍结分岔、跨临界分岔、叉形分岔等；动态分岔是相轨迹的拓扑结构也发生变化，如Hopf分岔、环面分岔、同宿或异宿分岔等。叉形分岔、Hopf分岔和鞍结分岔为三种分岔原型。,分岔的概念,叉形分岔 77其典型方程为： 方程的平衡点有三个：x=0和平衡态的稳定性由雅可比矩阵的特征值决定：对于平衡点x=0，雅可比矩阵的特征值为。当0时，它是不稳定的。对于平衡点 ，雅可比矩阵的特征值为-2。此时取正值，这两个平衡点都是稳定的。这就是叉形分岔，又称为倍周期分岔。,分岔的概念,Hopf分岔 在动态分岔中，比较重要的是由于平衡点稳定性突然变化而出现极限环
17、的霍普分岔。Hopf分岔是指从平衡点的失稳分岔出极限环，即产生周期性振荡的现象。其典型的方程为 引入极坐标(r,)，其中,分岔的概念,代入典型方程并化简得 方程组的第二式，说明了轨线以一常角速度旋转，而第一式，则说明了极坐标系在0时还存在另一平衡点由此看到，与叉形分岔非常相似。由分析得知，当0时，r=0就变的不稳定了，从而分岔出半径为 的极限环，这种由于失稳后出现极限环的分岔通常称为Hopf分岔，此时的分岔点为x=0，y=0，=0。,分岔的概念,鞍结分岔 又称折叠分岔。试考察单变量非线性方程很明显，当0时则存在两平衡点：根据雅可比矩阵计算得知，x1是稳定的平衡点，x2是不稳定的平衡点。=0是分
18、岔点，此分岔称为鞍结分岔。,混沌的研究方法,针对混沌现象目前主要采用的方法有：定性分析法和定量分析法。定性分析法有庞加莱截面法，功率谱法等；定量分析法有饱和关联维数法和李亚普诺夫指数法等。 庞加莱截面法：在多维相空间中适当（要有利于观察系统的运动特征和变化，如截面不能与轨线相切，更不能包含轨线面）选取一个截面，这个截面可以是平面也可以是曲面，然后考虑连续的动力学轨道与此截面相交的一系列点的变化规律，这样就可以抛开相空间的轨道，借助计算机画出庞加莱截面上的截点，由此得到关于运动特征的信息。不同的运动形式通过截面时，与截面的交点有不同的分布特征： 170周期运动在此截面上留下有限个离散的点；准周期
19、运动在截面上留下一条闭合曲线；混沌运动在庞加莱截面上是沿一条线段或一曲线弧分布的点集，而且具有自相似的分形结构。,混沌的研究方法,功率谱法：谱分析是识别混沌的一个重要手段。根据傅立叶变换分析得到周期运动的频谱是离散的谱线，而对非周期运动，其不能展开成傅立叶级数只能展开成傅立叶积分，故非周期运动的频谱是连续的。也就是说，若谱图具有单峰或几个峰，则对应于周期序列，若无明显的峰值且频谱是连续的，则可确定该系统可能存在混沌解。饱和关联维数法：根据传统的定义，维数是整数的，而混沌轨道在相空间内由于无限次的拉伸、压缩和折叠，构成了无穷嵌套的自相似结构，形成混沌奇怪吸引子。这奇怪吸引子的形状极为复杂，既像线
20、又像面，在维数上表现为非整数维数，即分数维。,混沌的研究方法,李亚普诺夫指数法：李亚谱诺夫指数是用来刻画混沌行为对初始条件的高度敏感性，是用来度量从两个相邻初始点出发的两条轨道，经过一段时间演化后，他们之间的距离随时间按指数形式吸引或分离的程度。可以区分奇怪吸引子和其他的吸引子。1983年，格里波基证明只要最大李指大于0，就可以肯定混沌性的存在。,分岔的研究方法,目前在研究分岔时主要用到的方法有：状态空间平均法、频闪映射法和采样数据法。状态空间平均法：状态空间平均法就是先分别写出各系统工作在各模态的状态空间模型，然后进行平均。频闪映射法：频闪映射的主要思路是确定一个初值，以此初值为变量求解下一
21、周期的解，如此不断的反复，最终得到所需精度解Xn+1。只要求得Xn+1和Xn之间的关系，就能采用连续代入的方法求出 Xn+1。,分岔的研究方法,采样数据法：通过列写出系统在不同工作阶段的微分方程得出系统的动力学迭代方程，这就是采样数据法。以上3种建模方法各有特点：状态空间平均法计算简便，但只能分析低频性能；频闪映射法适用于数值求解；采样数据法能够得到解析解，是一种系统而准确的模型。,混沌在现代科技领域的应用举例,在通信领域的使用通信在我们的生活中的作用越来越重要，尤其是电子商务的兴起，对保密通信提出了更高的要求。混沌信号最本质的特征是对初始条件极为敏感，并导致了混沌信号的类随机特性。用它作为载
22、波调制出来的信号当然也具有类随机特性。因而，调制混沌信号即使被敌方截获，也很难被破译，这就为混沌应用于保密通信提供了有利条件。因此利用混沌进行保密通信是目前十分热门的研究课题。,混沌在现代科技领域的应用举例,在气象学中的应用在近年的气象研究中，利用混沌进行中期预报的研究。由于气候系统是非线性系统，其初值问题的数值解是不确定的，研究气候状态的特征就要研究混沌态的特征，研究气候系统的演变机制就要研究混沌态的变化。在这些研究中使用的数学工具主要是分形理论，如分数维、李亚普诺夫指数、标度指数和功率谱指数等。利用这些数学方法分别考察、分析气候状态特征量随控制变量的变化。在数学上把天气(气候)预报问题提成
23、初值问题，即用动力学的方法进行预报，从认识论上讲就是把大气看成是确定论的系统，这在较短的时间尺度内是行得通的，而在时间较长的时候却是有问题的。Lorenz发现了“蝴蝶效应”，指的就是初始场微小的不确定性的指数放大。这就提出了确定论预报的可预报性问题，中期数值天气预报逐日预报的可预报时限大约是两三周左右的时间。也就是说进行长期预报是不可能的。,混沌在现代科技领域的应用举例,在生物学中的应用混沌在生物学研究中的应用主要集中在生态学中的种群变化；医学诊断疾病等方面。在经济学中的应用像自然界的所有领域一样，在经济领域同样存在着混沌现象。南美洲热带雨林中的彩蝶轻展双翅，北美大草原竟掀起了一场风暴，这是极言世界复杂性的蝴蝶效应。对此，美国赛纳尔公司首席执行官尼尔帕特森对此有刻骨铭心的认识。就因为他向公司400名中层经理发出的一份电子邮件竟让公司市值在短短三天时间内猛烈下跌了两成，逾3亿美元蒸发殆尽。类似的事情在经济学领域中数不胜数。由此而应运而生了经济混沌和经济波动的非线性动力学理论。目前的研究主要为宏观经济运动，因为发达国家的市场经济周期的观察积累了大量数据。在各种代表性的美国宏观经济指数中发现经济混沌的普遍证据。,混沌在现代科技领域的应用举例,混沌在其他学科的应用天体运行的长期行为不可预测；电路中的混沌现象；非线性系统的控制；利用分形研究物质结构及性能。,
