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1、1-8 网络图论的基本知识,1 网络(电路)的图（线图Graph）,因此就用抽象的点来代替原来的节点。用线段来代替原来的支路，而得到的一个由节点和支路组成的图，称为电路的图。,主要复习:节点、支路、路径、回路、树、割集（P43-P47）,众所周知，电路（网络）的约束分成两类，一为元件约束，一为结构约束。,结构约束是电路的连接结构，对电网络中的电压和电流的制约关系（KCL，KVL）,它与元件的性质无关。,既如此，讨论这部分关系时，就没有必要把元件画出。,图(Graph) 图是拓扑（Topological）图的简称 是节点和支路的一个集合: 未赋以方向的图称为无向图。 只有部分支路赋以方向的图称为
2、混合图。 所有支路都赋以方向的图称为有向图。图中的方向表示原电路中支路电压和电流关联参考方向:图并不反映支路之间的耦合关系。,二端元件的图,三端元件的图,双口元件的图,元件的图,网络的图,网络拓扑,i = 0,连接性质,无向图,有向图,(1)图的基本概念(名词和定义),1） 图,G=支路，节点,连通图 如果图G中的任何两个节点之间都至少存在一条路径，则G称为连通图(Connected Graph)，否则称为非连通图。铰链图 由电路中的多口元件造成的非连通图，可以把不连通的各部分中的任一节点(一部分只能取一个节点)之间假设有一条短路线相连。把这些假设短路线连接的节点合并成一个节点，这样所得的图称
3、为铰链图(Hinged Graph)。,2）子图如果图G1中的每个节点和每条支路都是G图中的一部分，则称G1为G 的子图(Subgraph)。,路径：从图G的一个节点出发沿着一些支路连续移动到达 另一节点所经过的支路构成路经。,3） 连通图,图G的任意两节点间至少有一条路经时称G为连通图。,4）有向图,(3) 回路：,1)连通；2)每个节点关联支路数恰好为2。,回路,不是回路,回路L是连通图G的一个子图。,具有下述性质,(2)路径（简称路）：从图的某一个节点出发，沿着一些支路连续移动到达另一个节点，这样的一系列支路称为图的一条路径。一条支路本身也是一条路径。一般出发的节点称为始节点，到达的节点
4、称为终节点。支路和节点只过一次。,(4) 树 (Tree),树T是连通图G的一个子图，具有下述性质：,1)连通；2)包含G的所有节点；3)不包含回路。,余树或补树：G中对应树T的余子图称为余树或补树(Cotree).,树不唯一,树支(Tree Branch or Twig) ：属于树的支路,连支(Chord or Link) ：属于G而不属于T的支路,16个,对于一个选定的树,树支数 bt= n-1,连支数 bl=b-(n-1),单连支回路（基本回路）,树支数 4,连支数 3,（4） 割集,1) 把Q 中全部支路移去，将图恰好分成两个分离部分；,2)保留Q 中的一条支路，其于都移去， G还是连
5、通的。,Q1: 2 , 5 , 4 , 6 ,割集Q是连通图G中一个支路的集合，具有下述性质：,与广义节点（闭合面）的概念相关联。是被闭合面所切割的支路集合。是把一个连通图恰好分成两部分的最少支路集合。因此与节点有关的关系对割集也成立。,Q4: 1 , 5 , 2 ,Q3: 1 , 5 , 4,Q2: 2 , 3 , 6 ,单树支割集（基本割集）,Q3: 1 , 5 ,3 , 6 ,Q2: 3 , 5 , 4,Q1: 2 , 3 , 6 ,三个分离部分,保留4支路，图不连通的。,基本回路,基本割集,1，2，3，4,1，4，5,1，2，6,3，4，5,2，3，6,1，5，3，6,基本回路和基本割
6、集关系,对同一个树,1）由某个树支bt (b4)确定的基本割集应包含那些连支，每个这种连支构成的单连支回路中包含该树支bt (b4) 。,2） 由某个连支b3确定的单连支回路应包含那些树支，每个这种树支所构成的基本割集中含有b3。, 1-9 图的矩阵表示及其性质,有向图拓扑性质的描述 ：（1）关联矩阵(Incidence Matrix)（2）回路矩阵(Loop Matrix)（3）割集矩阵(Cutset Matrix)（4）连通图的主要关联矩阵的关系,(1)关联矩阵A,用矩阵形式描述节点和支路的关联性质,aij = 1 有向支路 j 背离 i 节点,aij= -1 有向支路 j 指向 i 节点
7、,aij =0 i节点与 j 支路无关,关联矩阵,Aa=aijn b,节点支路关联矩阵Aa：全阶点关联矩阵（增广关联矩阵）行：节；列：支，流出为正，流入为正，无关为零。,任意去掉一行剩下的线性无关，去掉的节就做参考点节。称为降阶关联矩阵。简称关联矩阵，记为A，（AI=0 对应独立的n-1个KCL方程），A的秩为（N-1）Rank（Aa）=Rank（A）=n-1,1 0 0 -1 0 1,-1 -1 0 0 1 0,0 1 1 0 0 -1,0 0 -1 1 -1 0,1-1 0 0,0-1 1 0,0 0 1-1,-1 0 0 1,0 1 0-1,1 0-1 0,设为参考节点,称A为（降阶）关
8、联矩阵 (n-1)b ，表征独立节点与支路的关联性质,(降阶)关联矩阵A 若把Aa中的任一行划去(相当于相应的节点选作参考点)，剩下的(n1)b矩阵足以表征有向图中支路与节点的关联关系，并且(n1)行是线性无关的。这种(n1)b阶矩阵称为降阶(Reduced)关联矩阵，简称关联矩阵 。: 关联矩阵A的任何阶方子矩阵A0，det A0为0、1或1 幺模矩阵(Unimodular Matrix) 一个矩阵如果它的每个方子矩阵的行列式值均为1、1或0，则称该矩阵为单模矩阵或幺模矩阵 .,对于n个节点的连通图G，G的关联矩阵A的一个(n1)阶子方阵非奇异的充分必要条件是此子方阵的列对应图G的一个树的树
9、支 。,有关 的定理,: 一个树的关联矩阵 是非奇异的，且,:大子矩阵(Major Submatrix) 一个秩为n的nm矩阵的大子矩阵定义为该矩阵阶数为n的非奇异子矩阵。,: At为大子矩阵。,树的数目的计算方法,:比内柯西(Binet-Cauchy)定理 设矩阵B为mn阶矩阵，C是nm阶矩阵，且mn，则,det(BC) 的对应大子式的乘积,结论： 设图G是连通的，其关联矩阵为A，则全部树的数目为 。,即,设:,支路电压,支路电流,节点电压,矩阵形式的KCL,Ai =,A i = 0,矩阵形式KVL,（2） 基本回路矩阵B,2. 支路排列顺序为先连(树)支后树(连)支。,1 支路j与回路i关
10、联，方向一致,-1 支路j 与回路i关联，方向相反,0 支路j 不在回路i中,约定： 1. 回路电流的参考方向取连支电流方向。,用矩阵形式描述基本回路和支路的关联性质,B = b i j l b,选 4、5、6为树，连支顺序为1、2、3。,1 -1 0 1 0 0,1 -1 1 0 1 0,= Bt 1 ,设,矩阵形式的KVL,0 1 -1 0 0 1,B u = 0,B u = 0 可写成,Bt ut + ul = 0,ul = - Btut,用树支电压表示连支电压,连支电压,树支电压,矩阵形式的KVL的另一种形式,B= Bt 1 ,用连支电流表示树支电流,BT il = i,矩阵形式的KC
11、L,KCL的另一种形式,（3） 基本割集矩阵Q,约定 (1) 割集方向与树支方向相同。 (2)支路排列顺序先树(连)支, 后连(树)支。,1 j支路与割集i方向一致,-1 j支路与割集i方向相反,0 j 支路不在割集i中,用矩阵形式描述基本割集和支路的关联性质,Q = q i j n-1 b,1 0 0 -1 -1 0,0 1 0 1 1 -1,C1:1,2,4 C2:1,2,3,5 C3:2,3,6,设,ut= u4 u5 u6 T,矩阵形式的KCL：,0 0 1 0 -1 1,Qi =0,回路矩阵表示时,用连支电流表示树支电流,矩阵形式的KCL的另一种形式,Qi =0 可写成,回路矩阵和割
12、集矩阵的关系,矩阵形式的KVL,用树支电压表示连支电压,QTut=u,KVL的另一种形式,参考节点,1）道路矩阵 P的构造：,(4）树的道路（路径）矩阵P：,右图是某图的一个树，所谓道路是指对一个选定的树，从任意节点到参考节点的路径；所谓道路矩阵是指表征各树支与路径(节点)的关联关系的矩阵。后面的分析将会看到，道路（路径）矩阵P的引入会大大简化各关联矩阵的生成。,若规定各道路的选号与路的起始节点选号一致，终点是参考点。则第k条路Pk起始节点就是节点k，路的方向从始节点指向参考节点。,则：道路矩阵,它的行对应树支，列对应路径。,参考节点,p2,p1,p3,p4,p5,按上述规定写出P,b2,b1
13、,b3,b4,b5,下面给出证明,其中下标i，k，j分别表示节点的编号、道路编号和支路的编号。若第j条支路不与节点i关联时，ai j=0，第j条支路不在第k条道路Pk上时，有Pj k=0，此时有di k= ai jPj k=0 ，,2） :可以证明 的（非零）大子阵，,这正是引入道路矩阵的目的，直接生成At的逆，也可把树支电压与节点电压联系起来。,令：,3） 的证明,只有第j条支路既与i节点关联，又在Pk上才有di k= ai jPj k0；此时节点i一定在Pk上;,当节点i在Pk上时，若i=k，则只有Pk上的1条支路与节点i相关联；若ik ，则只有Pk上的2条支路与节点i相关联。,) i节点
14、在Pk上，但不是它的始节点，也不是终节点，则必有且只有二条支路和与i节点关联，设为x和y，如图所示。任意改变x 和y的方向结果不变。,（）ik（i不是Pk的始节点）,) i节点不在Pk上， di k= ai jPj k=0；,（）i=k（i是Pk的始节点）,di k= ai xPx k+ ai yPy k =(-1)(1)+(1)(1)=0,di k= ai xPx k+ ai yPy k =(1)(-1)+(1)(1)=0,di k= ai xPx k=(1)(1)=1,di k= ai xPx k=(-1)(-1)=1,综合（） （）有,所以,证明结束,路径矩阵示例,示例,3 各关联矩阵间
15、的关系：设有n个节点b条支的连通图，支路编号顺序先连支后树支,可见关联矩阵A包含了网络有向线图的全部结构信息，即表征了网络的全部结构约束（对任一选定的树和参考节点）。,（对应同一个树）,只规定了回路与支路、割集与支路的关系，而图是节点与支路的集合，因而不唯一,（给定节点支路编号）,（给定树）,A与图的一一对应关系, 1-10 网络的互联规律性,树支电流可以用连支电流来表示，连支电流是完备独立变量。,1. KCL(电荷守恒)的矩阵形式,一、 KCL、KVL定理的矩阵形式,2. KVL (能量守恒)的矩阵形式,连支电压可以用树支电压来表示，树支电压是完备独立变量。,各道路的起始节点对参考节点的电压
16、,为k节点的电压（位）,Qf,Qf i=0,u =Qf T ut,小结：,ul = - Btut,A,Bf,Ai=0,i = BfT il,u = ATun,Bf u=0,二、特勒根定理,1.功率守恒定律,对于一个具有n个节点、b条支路的网络，令ub和 ib 分别表示支路电压列向量和支路电流列向量，且各支路的电压和电流采用关联参考方向，则,或者,功率守恒定律的证明,同理,或者,扩展：,KVL：,利用KCL：,利用KCL：,这就是拟（似）功率守恒定理,2. 拟功率守恒定理,设网络N和 具有相同的拓扑结构(即 ),支路电压列向量和支路电流列向量分别为ub 、ib和 、 ， 则有,或者,拟（似）功率
17、守恒定理的另一种形式,同一个 网络N不同时刻， 、 和 、,则有,或者,3. 微分特勒根定理（不同网络图相同或同一网络不同时刻）,或者,一条支路,一条支路,4.特勒根定理的多端口形式（P58）,设n端口的电压和电流列向量分别为,由于端口的电压和电流对外接支路是非关联参考方向，因此其特勒根定理的表达式为：,写成标量形式,同理对网络 有：,应用于网络 N和 有：,设网络 N的参数发生变化，从而引起各支路电压和电流的变化 有：,把上述关系代入（3）得,(4)(3) 得,（6）式可用于求网络的灵敏度，则 就是构造的伴随网路。,实事上（6）式也可以从特勒根定理的微分形式直接得到，这里的主要强调端口变量和
18、构造端口，即如果原网络内部存在独立源等可以抽出，以便简化分析处理。,三、基尔霍夫定律和特勒根定理的广义形式,变换 称为线性的，是指对于任意实数和,:,常用线性变换,反变换,(1) 傅立叶变换,正变换,线性变换,常用线性变换（续）,(2) 相量变换,(3) 拉普拉斯变换,或,反变换,正变换,正变换,反变换,(4) 其它线性变换 一维变换：取增量、取共轭、小波变换 多维变换：派克变换、 相模（解耦）变换、相序变换等,基尔霍夫定律和特勒根定理的广义形式,变换域的KCL方程和KVL方程,记为,由基本回路矩阵和基本割集矩阵表示的基尔霍夫定律的广义形式,特勒根定理的广义形式, 1-11 网络及元件的基本性
19、质(二),陈述网络性质的三种方式根据组成网络的元件传统型 根据网络方程根据输入输出关系端口型,只讨论端口型,一、无源性和有源性,1.定义： 如果一个线性时不变元件对于任意容许信号偶 及任意的时间t，恒有,则称该元件是无源的，否则称为有源的。,时不变电阻元件的无源判据,对于线性时不变电阻元件, 当且仅当对于任意的容许信号偶 和任意时刻t, 恒有,该电阻元件才是无源的。,证明：1 充分性 由于电阻元件不储存能量，故,2 必要性 电阻元件是无源的,若取直流信号,，则必为一组容许信号偶。,有源，相矛盾。,假设论断不真，则至少存在一个时刻,成立,无源性示例,例 1 例 2 例 3 例 4,无源元件,当式
20、中的等号只有在u和i同时为零时才成立时, 电阻元件称为严格无源的(Strictly Passive)。,正值电阻、正值电容、正值电感理想变压器、回转器伏安特性曲线位于第一、三象限的二端电阻,有源元件,独立源、负值电阻、负值电容、负值电感受控源、运放、跨导、负阻抗变换器伏安特性曲线部分位于第二或四象限的二端电阻,2.可用能量(Available Energy),sup表示取上确界,对于时不变元件在工作点Q的所有容许信号偶 和所有 ，可用能量定义为,无源性的一般定义,对于时不变非线性元件，若在任何工作点Q的可用能量均是有限的，则该元件是无源的，否则称为有源的。,3.非能的(Nonenergic),
21、一个元件，如果对于任何容许信号偶,则称该元件是非能的，否则称为能量的。,非能元件既不消耗能量，也不存储能量,理想变压器、回转器,二、无损性与有损性,定义： 如果一个n口元件对于所有有限的，从t0到 平方可积的容许信号偶 ，亦即,在所有初始时刻t0之下有,或,则称该元件是无损的，否则就是有损的。,三、互易性、反互易性和非互易性,定义：如果线性时不变元件对于任意两组容许信号偶 和 ,恒有,“*”为卷积符号,或者,则称该元件是互易的(Reciprocal) 。,如果恒有,则称该元件是反互易的(Antireciprocal)。,（频域）,或者,设：n端口网络不存在独立源，Z（S）（或Y（S）则有：,互
22、易性与非互易性的另一种表达形式,互易性与非互易性也可用其它网络参数表示。,若 称为反互易的，否则为非互易的。,互易性若干命题,uT=0，Ti=0；（U11+ U22=1i1+2i2）；,互易定理有三种形式，可由特勒根定理得（P56）：,(UKK- KiK) =0,由互易元件构成的n端口，是互易n端口（充分）;,由R,C，L组成的 n口网络是互易的;,含受控源的n口网一般不互易，互易n端口内不存在独立源。,本章内容到此结束！,相互互易,如果两个端口数目相同的线性元件，对于它们的任意端口容许信号偶 和,恒有,则称这两个元件是相互互易的。,例题,或者,四、因果性与非因果性,对于一个网络，在施加激励前
23、没有响应，只有在激励施加后才有响应，这个特性称为起因性。,一个初始条件为零的物理网络，在相同的输入(原因)下将产生相同的输出(效果)，这种特性就称为因果性。,五、无增益特性,网络的每一组解均满足下列两条性质:,(1)网络N中任一对节点之间的电压幅值小于或等于所有独立电源两端电压的幅值之和;,(2)流入每一元件任一端钮的电流的幅值小于或等于流过所有独立电源电流的幅值之和。,对于每一个直流工作点Q,存在一个由(n1)个线性正值二端电阻组成的n端连通网络具有相同的工作点。,充分必要条件:N中的每一个n端电阻元件满足无增益判据(No Gain Criterion),六、网络解的存在性与唯一性,充分条件
24、：,如果电路不含纯电压源回路和纯电流源割集，则该电路的解存在并且唯一。,定理：,线性电阻电路解的存在性和唯一性。,设线性电阻电路由电路方程 描述,则当且仅当 时，该电路具有唯一解,电路无解示例,隧道二极管电路多解示例,“H”代表共轭转置。,则称其为欧姆型矩阵。,欧姆型矩阵,一个n阶方阵F，如果在复数域中对每一个非零n维列向量X有,THE END,定理：,设N是一个既不包含有仅由独立电压源和受控电压源组成的回路，又不包含有仅由独立电流源和受控电流源组成的割集的网络。N是把N中所有独立电源置零后得到的网络，如果N的支路导纳矩阵为欧姆型，则网络N拥有唯一解。,结论：,设N是一个含有独立电源的RLCM
25、网络，当且仅当网络没有仅由电压源组成的回路和没有仅由电流源组成的割集时，该网络拥有唯一解。,返回(back),例1 已知一双口电阻元件的伏安关系为,式中R1和R2均为正值。试求该元件为无源元件的条件。,解 该元件吸收的功率为,当 时，R是对称正定的，p(t)0，该双口电阻元件是无源的。,例2 设双口电感元件的电感矩阵为 证明该元件是无源元件的充分必要条件是对称正定。证明： 1必要性的证明 双口电感元件的伏安关系为,该元件在时刻t吸收的能量为,（1）先说明 元件是有源的。,则,可得,取,假定,（2）当 时,这表明,当 时，双口电感元件是有源元件。因此，元件无源时，L为对称矩阵。,2 充分性的证明
26、,返回(back),因L对称正定，所以W(t)0，并且只有在i = 0时， W(t)=0.因此，L为对称正定矩阵时，该双口电感元 件一定为无源元件。,例3 试说明受控源是有源元件 。,返回(back),解 以VCVS为例说明，其它受控源可作类似讨论。,将VCVS的控制支路加一电压源，受控支路接一正值电阻。 t 时刻受控源吸收的功率为,故VCVS是有源元件。,例4 证明仅由无源元件组成的多口网络是无源的，并且这只是一个充分条件。 （无源封闭性）,证明 : 设多口网络由个无源元件组成，这些元件可以是二端的，也可以是多端的。令uk，ik表示第k个元件的容许信号偶(k1，2，l)，则对于网络内部的容许信号偶ub，ib，有,由于元件是无源的，对于所有k，都有,返回(back),而t时刻多口网络吸收的功率为,到t时刻多口网络吸收的能量为,这表明该多口是无源的。这种特性称为封闭性。,例4 证明仅由互易元件组成的多口网络一定是互易封闭性的；但互易多口网络可含有非互易元件。,证明 设 和 是多口网络端口的任意两组容许信号偶，相应的两组内部支路容许信号偶为 和 。设多口网络由 l个元件组成，每个元件相应的容许信号偶为 和 (k=1,2,l)，则由特勒根定理得,由于所有元件都是互易的，所以，对于所有k,返回(back),因此,根据定义，该多口网络是互易的。,本章内容到此结束！,
