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1、相似三角形专题复习 （经典）,ABCA/B/C/,如果BC=3,B/C/=1.5,那么A/B/C/与 ABC的相似比为_.,1.相似三角形的定义：,对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形。,2.相似比：,相似三角形的对应边的比，叫做相似三角形的相似比。,一.相似三角形,知识要点,两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例。相似三角形对应高的比,对应中线的比,对应角平分线的比都等于相似比。相似三角形周长的比等于相似比。相似三角形面积的比等于相似比的平方。相似三角形的传递性。,3.相似三角形的性质：,4.相似三角形的判定：,如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角
2、形相似,如果一个三角形的两条边分别与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似,如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似,已知：在ABC中，DEBC，点F是线段DE上一点，连接AF并延长与BC相交于点G.求证：DFGC=FEBG,例1.,相似三角形判定的基本模型一,A字型、 反A字型（斜A字型） （平行） （不平行）,例2.,若G为BC中点,EG交AB于点F,且EF:FG=2:3,试求AF:FB的值.,添平行线构造相似三角形的基本图形。,D,E,H,G,F,M,N,1,2,若G为BC中点,EG交AB于点F,且EF:FG=2:3,试
3、求AF:FB的值.,添平行线构造相似三角形的基本图形。,E,G,F,M,N,1、如图，点D、E分别是ABC边AB、AC上的点，且DEBC，BD2AD，那么ADE的周长ABC的周长。,1:3,2.右图中,若D,E分别是AB,AC边上的中点,且DE=4则BC= ,8,3.右图中, DEBC，SADE:S四边形DBCE = 1:8,则AE:AC=,1:3,课堂训练:,E,B,D,C,4. 在ABCAC=4,AB=5.D是AC上一动点,且ADE=B,设AD=x,AE=y,写出y与x之间的函数关系式.试确定x的取值范围.,A,解: A=A ADE=B ADEABC ( ) AD:AB=AE:AC x:5
4、=y:4 y=0.8x,(0 x4),5.如图： DEBC，EF AB,AE：EC=2：3， S ABC=25，求S四边形BDEF,解：,DEBC,ADEABC,SADE,SABC,AE,AC,（ ）,2,4,25,SABC=25,SADE,4,AE：EC=2:3,AE:AC=2:5,6. 过ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和E，求证：AE：ED=2AF：FB。,G,7.已知：ABCD,连接AD,CB相交于点E.过E点作EF平行于线段AB，与线段AC相交于点F。求： 的值。,相似三角形判定的基本模型二 （平行） （不平行）,8字型 反8字型 （蝴蝶型）,例1.已知ABC
5、D，连结对角线BD，E.F是边BC的三等分点，连结AE、AF，与BD分别交于点G、H，则BG:GH:HD的值为_.,5:3:12,5,1:3,1:9,9:1,练3. 如图,在ABCD中，AB=4,BC=6,ABC, BCD的角平分线分别交AD于E和F,BE与CF交于点G,则EFG与BCG面积之比是( ) A.2:3 B.4:9 C.1:4 D.1:9,D,练4. 如图,已知点D是AB边的中点, AFBC，CG:GA=3:1，BC=8，则AF=_.,4,练5.如图,直角梯形ABCD中,BCD=90, ADBC,BC=CD,E为梯形内一点,且BEC=90,将BEC绕C点旋转90使B与D重合，得到D
6、CF，连EF交CD于M.已知BC=5，CF=3，则DM:MC的值为_.,4:3,相似三角形判定的基本模型一,A字型、 反A字型（斜A字型） （平行） （不平行）,相似三角形判定的基本模型二 （平行） （不平行）,8字型 反8字型 （蝴蝶型）,给你一个锐角ABC和一条直线MN；,问题,你能用直线MN去截ABC，使截得的三角形与原三角形相似吗？,相似三角形,DEBC,ADE ABC,DAE= CAB,ADE ABC,基本图形,判定方法,AED= B,DAE= BAC,ADE ABC,三边对应成比例的两个三角形相似.,相似三角形,DEBC, ADE ABC,DAE= CAB, ADE ABC,基本图
7、形,判定方法,AED= B,DAE= BAC,ADE ABC,对应角相等；,性质定理,对应边成比例；,周长的比等于相似比；,面积的比等于相似比的平方；,三边对应成比例的两个三角形相似.,练一练,基本图形,D,E,H,过D作DHEC交BC延长线于点H,(1)试找出图中的相似三角形?,(2)若AE:AC=1:2,则AC:DH=_;,(3)若ABC的周长为4,则BDH的周长为_.,(4)若ABC的面积为4,则BDH的面积为_.,ADE ABC DBH,2：3,6,9,三、基本图形的形成、变化及发展过程：,平行型,斜交型,垂直型,1.添加一个条件，使AOB DOC,角： B= C或 A= D边：AB
8、CD AO：OD=BO：CO,“X” 型,解：,2.若ABCADE，你可以得出什么结论？,角： ADE= B AED= C 边：DE BC,面积：,“A”型,3、D、E分别是ABC边AB、AC上的点，请你添加一个条件，使ADE与ABC相似。,斜交型,角： B= 2或 1= C边： AD：AC=AE：AB,解：,4、已知CD是RtACB斜边AB上的高，且CD=6，BD=12，则AD=_,AC=_。,3,6,12,3,垂直型,1.如图，DEBC，D是AB的中点，DC、BE相交于点G。求,=1:2,=1:2,B,A,C,O,如图:写出其中的几个等积式AC2=BC2=OC2=,AOAB,BOAB,AO
9、BO,若AC=3,AO=1.写出A.B.C三点的坐标.,(-1,0),(8,0),(0,2 ),已知,如图,梯形ABCD中,ADBC, A=900,对角线BDCD求证:(1) ABDDCB; (2)BD2=ADBC,证明:(1) ADBC, ADB= DBC A=BDC= 90, ABDDCB,如图,在直角梯形ABCD中,ABCD, A=900,AB=2,AD=5,P是AD上一动点(不与A、D重合),，交于点,（）ABP与DPE是否相似？请说明理由；,（）设x=y，求y与x之间的函数关系式,并指出自变量x的取值范围；,（3）请你探索在点P运动的过程中，四边形ABED能否构成矩形？如果能，求出A
10、P的长；如果不能，请说明理由；,（4）请你探索在点P运动的过程中，BPE能否成为等腰三角形？如果能，求出AP的长，如果不能，请说明理由。,2,5,试一试,x,y,5-x,3、如图，在ABC中，ABC=90，AB=6，BC=12,点P从A点出发向B以1m/s的速度移动，点Q从B点出发向C点以2m/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B两地同时出发，几秒后 PBQ与原三角形相似？,例：如图，在ABC中，C=90，AC=4，BC=3，PQAB，点P在AC上（与点A、C不重合），点Q在BC上。试问：在AB上是否存在点M，使得PQM为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出PQ的长。,P,
11、Q,例：如图，在ABC中，C=90，AC=4，BC=3，PQAB，点P在AC上（与点A、C不重合），点Q在BC上。试问：在AB上是否存在点M，使得PQM为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出PQ的长。,A,B,C,E,F,如图，在正方形ABCD中,E为BC上任意一点（与B、C不重合）AEF=90.观察图形：,D,A,B,C,E,F,D,（2）若E为BC的中点，连结AF,图中有哪些相似三角形？,（1） ABE 与ECF 是否相似？并证明你的结论。,问题发现 知识整理,ABE ECF, AEF,问题1：,（1）点E为BC上任意一点，若 B= C=60, AEF= C,则ABE与
12、 ECF的关系还成立吗？说明理由,（2）点E为BC上任意一点若 B= C= , AEF= C,则ABE 与 ECF的关系还成立吗？,A,B,F,C,E,60,60,60,“M”型相似,问题发现 知识整理,ABE ECF,A,B,C,E,F,D,A,F,G,（1）延长BA、CF相交于点D,且E为BC的中点，若 B=C= , AEF= C,连结AF.找出图中的相似三角形说出图中相等的角及边之间的关系,（2）延长BA、CF相交于点D,且E为BC的中点，若 B=C= , AEF= C, 当AEF旋转到如图位置时，上述关系还成立吗？,问题发现 知识整理,问题2：,善于运用类比、迁移的数学方法解决问题,E
13、为中点,归纳：,变式：.在直角梯形ABCF中，CB=14，CF=4, AB=6,CFAB,在边CB上找一点E,使以E、A、B为顶点的三角形和以E、C、F为顶点的三角形相似，则CE=_,1.矩形ABCD中，把DA沿AF对折，使D与CB边上的点E重合，若AD=10, AB= 8,则EF=_,善于在复杂图形中寻找基本型,5,A,D,B,C,E,F,E,E,E,5.6或2或12,注意分类讨论的数学思想,实战演练 知识运用,E,B,C,D,F,2.已知：D为BC上一点， B= C= EDF=60,BE=6,CD=3,CF=4,则AF=_,7,A,实战演练 知识运用,E,B,C,D,F,A,变式：已知：A
14、BC中，AB=AC, BAC= 120,D为BC的中点， 且EDF =C,（1） 若BECF=48,则AB=_（2）在（1）的条件下，若EF=m, 则SDEF =_,利用转化的数学思想,H,P,8,实战演练 知识运用,（1）连接AP、AQ、PQ，试判断APQ的形状，并说明理由。,（2）当t=1秒时，连接AC，与PQ相交于点K.求AK的长。,Q,P,A,B,C,D,K,善于在复杂图形中寻找基本型,已知：菱形ABCD,AB=4m, B=60,点P、Q分别从点B、C出发，沿线段BC、CD以1m/s的速度向终点C、D运动,运动时间为t秒.,迁移拓展 知识提升,E,Q,A,B,C,D,P,N,F,（3）
15、 当t=2秒时，连接AP、PQ,将APQ逆时针旋转，使角的两边与AB、AD、AC分别交于点E、N、F，连接EF.若AN=1,求SEPF.,注意运用转化的数学思想,迁移拓展 知识提升,（4）以OS为一边在SOC内作SOT,使SOT = BDC,OT边交BC的延长线于点T,若BT=4.8,求AK的长。,A,S,K,D,C,B,o,T,30 ,30 ,30 ,迁移拓展 知识提升,(P),(Q),P,Q,我的收获,善于观察 善于发现 善于总结,1、已知：等边ABC 中，P为直线AC上一动点，连结BP,作BPQ=60,交直线BC于点N.(1)当P在线段AC上时，证明PAPC=AB CN(2)若P在AC的
16、延长线上，上述关系是否成立？(3)若P在CA的延长线上， CN=1.5,BC=2,求AP、BP的长,补充练习、内化理解,N,Q,N,Q,N,Q,60,60,60,2、在平面直角坐标系中，四边形OABC为等腰梯形， OABC, OA=7, BC=3, COA=60,点P为线段OA上的一个动点，点P不与O、A重合，连结CP.（1）求点B的坐标。（2）点D为AB上一点，且AD:BD=3:5,连结PD,在OA上是否存在这样的点P,使CPD= BAO?若存在，求出直线PB的解析式，若不存在，请说明理由。,D,补充练习、内化理解,F,B,C,A,(-3,0),(1,0),tanABC=,（1）请在x轴上找
17、一点D，使得BDA与BAC相似 （不包含全等），并求出点D的坐标；,（2）在（1）的条件下，如果P、Q分别是BA、BD上 的动点，连结PQ，设BPDQm， 问：是否存在这样的m，使得BPQ与BDA相似？ 如存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由。,用一用,O,D,（1）BDABACCADABC tanCADABC=BC=4AC=BCtan ABC=3CD=ACtan CAD=3 =OD=OC+CD=1+ =D( ,0),用一用,用一用,P,Q,P,Q,例2 如图，有一块锐角三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点
18、分别在AB，AC上，加工成正方形零件的边长为多少毫米？,如果把正方形的零件改变为加工矩形零件,设DP=x，DE=y，写出y与x之间的函数关系式，试确定x的取值范围。,P,B,A,C,D,E,F,M,N,如图，ABC是一 块余料，边AB=90厘米，高CN=60厘米，要把它加工成正方形零件，使正方形 的一边在AB上，其余两个顶点分别在BC、AC上 这个正方形零件的边长是多少？,当DE是DP的1.5倍时恰好符合要求，求此时零件的面积是多少?,在问题3中，具体操作时，发现在AB线段上离B点34cm处有一蛀虫洞，请你确定一下，它是否影响余料的使用，说明理由。（量得BN=70cm）,P,B,A,C,D,E
19、,F,M,N,B,A,C,D,E,F,图一,图二,课外拓展: 右图中，在一直角三角形余料中截出一个面积最大的正方形零件，应如何截取？ （设正方形的三边分别是3、4、5、那么最大的面积是多少？）,B,A,C,解：设正方形DEFP的边长为x厘米。因为DEAB，所以CDE CBA所以,问题解答:,P,B,A,C,D,E,F,M,N,演变1：如图，有一块锐角三角形余料ABC，它的边BC=a，高AD=h，要把它加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上。求（1）设PN=x，矩形PQMN的面积为y，求y关于x的函数关系式，并指出x的取值范围。（2）当h=6，a=8时，请你求出面积
20、等于9的矩形PQMN的边长PN。（3）按题设要求得到的无数个矩形中，是否能找到两个不同的矩形，使它们的面积之和等于ABC的面积？如果能找到，请求出它们的边长，如果找不到，请你说明理由。,求（1）设PN=x，矩形PQMN的面积为y，求y关于x的函数关系式，并指出x的取值范围。,(2)当h=6，a=8时，请你求出面积等于9的矩形PQMN的边长PN。,（3）按题设要求得到的无数个矩形中，是否能找到两个不同的矩形，使它们的面积之和等于ABC的面积？如果能找到，请求出它们的边长，如果找不到，请你说明理由。,演变2：把正方形PQMN换成等腰直角三角形PMN，直角顶点P在BC上,斜边MN的两个端点分别在AB
21、,AC上,且斜边MNBC,结论改为“求等腰直角三角形PMN的面积”。,N,120,变式3：,变式4：把正方形PQMN换成矩形PQMN，并增加条件矩形PQMN的周长为200mm，结果改为“求矩形PQMN的长和宽”,变式5：把正方形PQMN改为矩形PQMN，并把“AD=80，BC =120”改为AD=6mm，BC=8mm”，把结果改为求设PN=x，矩形PQMN的面积为y，求y关于x的函数表达式，并指出x的取值范围.当为PQ何值时，矩形PQMN的面积最大,变式6：把正方形PQMN换成等腰直角三角形PMN，直角顶点P在BC上，斜边MN的两个端点分别在AB，AC上，且MN/BC，结论改为“求等腰直角三角形PMN的面积”,A,B,C,M,N,P,D,E,120,80,探索：如图梯形ABCD中，ABCD。已知AB=25，AD=DC=16，问对角线BD能否把梯形分成两个相似的三角形。若不能，请给出证明；若能，求出的BC，BD长。,再见,
