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1、第三章 网络的状态变量分析法,3-1 概述3-2 简单网络状态方程的直观列写法3-3 网络状态方程的系统列写法3-4 状态方程的时域求解法3-5 状态方程的频域求解法3-6 计算机辅助分析,3-1 概述,北京邮电大学 电子工程学院 俎云霄,状态：是指在某给定时刻网络所必须具备的最少信息量。他们和从该时刻开始的任一输入一起足以完全确定今后该网络在任何时刻的性状。,状态变量：是网络的一组独立的动态变量，他们在任何时刻的值就组成了该时刻网络的状态。这样一组最少数目的变量，用矩阵列向量来表示就称为状态向量，简称状态。状态向量的一个分量就是状态变量。,线性电路中，电容上的电压 和电感中的电流 是网络的状
2、态变量。非线性电路中，电容上的电荷 和电感中的磁链 是网络的状态变量。,以状态变量作为未知量列写出的网络的一组方程就称为网络的状态方程。,状态方程,状态方程的矩阵形式,状态方程的标准形式,令,则有,，,如果再令,则有,x 称为状态向量，v 称为输入向量。,和x是n阶列向量，A为nn阶方阵，B为nm阶矩阵，v为m阶列向量。,状态方程的阶数称为网络的复杂性阶数。,当网络中不存在仅由电容支路和电压源支路构成的回路和仅由电感支路和电流源支路构成的割集时，其复杂性阶数就等于储能元件的总数。,3-2 简单网络状态方程 的直观列写法,北京邮电大学 电子工程学院 俎云霄,直观列写法：根据KCL、KVL直接列写
3、出节点或割集的电流方程和回路的电压方程，然后整理成状态方程的方法。,例31 试用直观法列写图示电路的状态方程。,解,对节点1和节点2分别列写KCL方程,对回路 l1列写KVL方程,将方程中的非状态变量 、 用状态变量和已知量表示,将此二式代入上面的三个方程中，并进行整理即得状态方程,写成矩阵形式为,直观列写法的基本步骤：（1）对含有电容支路的节点或割集列写KCL方程；（2）对含有电感支路的回路列写KVL方程；（3）将非状态变量用状态变量和已知量表示；（4）消去非状态变量，将状态方程整理成标准形式。,假设网络中没有纯电容和电压源组成的回路以及纯电感和电流源组成的节点或割集。,3-3 状态方程的
4、系统列写法,北京邮电大学 电子工程学院 俎云霄,特有树(proper tree) ：树支包含了网络中所有的电压源支路和电容支路，而其连支则包含了网络中的所有电流源支路和电感支路。,选择了特有树后，对单电容树支割集，即基本割集列写KCL方程，对单连支回路，即基本回路列写KVL方程，如果方程中有非状态变量，则消去之，最后整理并写成标准形式即可。,当网络中不存在仅由电容支路和电压源支路构成的回路（简称CUs回路）和仅由电感支路和电流源支路构成的割集（简称LIs割集）时，特有树总是存在的。,注意：此时不采用复合支路的概念，而是以网络中的每个元件作为一条支路。,状态方程,例32,试列写出图示网络的其状态
5、方程。,对由树支2、3、4确定的基本割集列写KCL方程如下：,状态方程,对由连支7、8确定的基本回路列写KVL方程如下：,将方程中的非状态变量 、 用状态变量和已知量表示,状态方程,将此二式代入上面的相应方程中，并进行整理得：,状态方程,写成矩阵形式为,状态方程,直观列写法的基本步骤：（1）画出网络的有向图，对支路进行编号，并选定一颗特有树，使其包含网络中的所有电压源和电容，而不包含任何电流源和电感；（2）以特有树的电容树支电压和电感连支电流为状态变量； （3）对单电容树支割集列写KCL方程； （4）对单电感连支回路列写KVL方程； （5）将非状态变量用状态变量和已知量表示； （6）消去非状态
6、变量，将状态方程整理成标准形式。,状态方程,当网络中含有仅由电容和电压源组成的回路和（或）仅由电感和电流源组成的割集时，又该如何建立网络的状态方程呢？,特有树包含：（1）全部独立电压源；（2）尽可能多的电容；（3）尽可能少的电感，但不包含独立电流源。还可能包含电阻（或电导）支路。,复杂性阶数为：,：复杂性阶数或独立状态变量数；：电感和电容元件的总数；：独立CUs回路数；：独立LIs割集数。,状态方程,按照先树支后连支的顺序写出基本割集矩阵和基本回路矩阵，元件类型的安排顺序为：对树支支路是电压源、电容、电阻（和电导）、电感，对连支支路是电流源、电感、电阻（或电导）、电容，即：,下标t 表示树支，
7、l 表示连支。,状态方程,如果网络中有电容和电压源构成的回路，则必定有一个电容支路作为连支，而其余的电容均为树支。因此，在以此电容作为连支的基本回路中不会有电阻（或电导）和电感，所以， 和 均为零矩阵。同样，如果网络中有电感和电流源构成的割集，则必定有一个电感支路作为树支，而其余的电感均为连支。因此，在以此电感作为树支的基本割集中不会有电阻（或电导）和电容，所以， 和 均为零矩阵。根据 和 的关系可知， 和 也为零矩阵。,支路电压和支路电流列向量分别为：,状态方程,各元件的VCR为：,或,或,电感之间无耦合时,，,状态方程,将非状态变量用状态变量和已知量表示，最终整理可得为：,状态方程,输出方
8、程,输出方程 ：以待求量（也称为输出量）为变量列出的方程。通常表示为状态变量和输入激励的线性组合。,输出方程的一般形式为：,例32续,求以节点1、2、3、4的电压作为输出的输出方程。,输出方程,写成标准形式为：,3-4 状态方程的时域解,北京邮电大学 电子工程学院 俎云霄,一阶微分方程的求解,一阶微分方程解的一般表达式,零输入响应,零状态响应,一阶微分方程组的求解,零输入响应,零状态响应,称为状态转移矩阵( ),的求解方法,1 拉氏变换法,状态方程 对应的齐次方程的拉氏变换式为：,方程的通解（零输入响应）,例34,求 的 。,解,的求解方法,2 有限级数法,的求解方法,状态方程 对应的齐次方程
9、的特征方程为：,对于n 阶方程则有：,其特征根为 ， ， 。,根据凯莱哈密顿定理可知,矩阵 可以用矩阵A的(n-1)阶多项式来表示。,所以有,的求解方法,进而有,系数 ， ， 是时间t 的函数。,的求解方法,系数 的确定,矩阵A满足如下矩阵方程,设为矩阵A的特征值，则,当 ， ， 为A的n 个不同特征值时，有,解上述方程求出 ，进而求出 。,例35,求 的 。,解,的求解方法,由 得：,解得,所以,，,解得,有重根的情况,的求解方法,设矩阵A的特征根中有一二重根， ，则此时确定系数的n个方程为：,的求解方法,有m重根时：,的求解方法,例36,求 的 。,解,由 得：,解得 是一二重根,所以,解
10、得,3-5 状态方程的频域解,北京邮电大学 电子工程学院 俎云霄,状态方程 两边进行拉氏变换得：,状态方程的频域解,状态方程的时域解为,零输入响应,零状态响应,例37,已知网络的状态方程为 ，,解,初始状态向量为 ，,试求该状态方程的解。,零输入解为：,的求解方法,状态方程的全解为：,零状态解为：,3-6 计算机辅助分析,北京邮电大学 电子工程学院 俎云霄,借助计算机对动态电路进行时域分析将使计算的工作量大大减少，并提高计算的准确度。,基本思想,首先输入电路的拓扑信息和元件类型及参数值，据此通过编程使计算机自动生成所需要的矩阵和电路的状态方程，随后进行求解，并输出状态变量的值。,电路的拓扑信息包括节点数、支路数。以一个元件作为一条支路，形成关联矩阵、割集矩阵及状态方程的系数矩阵。,动态电路时域分析流程图,关键是找到一棵特有树，并由此形成割集矩阵。,特有树要包含：（1）全部独立电压源；（2）尽可能多的电容；（3）尽可能少的电感，但不包含独立电流源。,生成特有树的算法流程框图,
