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1、1,金融风险理论与模型,第5章 二叉树模型与美式期权的风险管理,2,5.1 概述,二叉树期权定价（Binomial option Pricing Model）由Cox,Ross,Rubinstein等人提出为期权定价模型为B-S模型提供一种比较简单和直观的方法二叉树模型已经成为建立复杂期权（美式期权和奇异期权）定价模型的基本手段对于所有不能给出解析式的期权，都可以通过二叉树模型给出。,3,A Simple Binomial Model,A stock price is currently $20In three months it will be either $22 or $18,Stock
2、 Price = $22,Stock Price = $18,Stock price = $20,4,A 3-month call option on the stock has a strike price of 21.,5,Consider the Portfolio:long D sharesshort 1 call optionPortfolio is riskless when 22D 1 = 18D or D = 0.25,Setting Up a Riskless Portfolio,股股票1份期权=无风险证券1份期权= D股股票-无风险证券,6,5.2 单期二叉树期权定价模型,
3、考虑一个买权在当前时刻t，下期t=T到期，中间只有1期，=T-t假设该买权的标的股票是1个服从二项分布的随机变量。当前股票价格为st=S是已知的，到期股票价格为sT，且满足,其中，u为上涨因子，d为下跌因子,7,问题：如何确定该期权在当前时刻t的价值ct？设想：构造如下投资组合，以无风险利率r借入资金B（相当于无风险债券空头），并且在股票市场上购入N股股票（股票多头）。目的：在买权到期日，上述投资组合的价值特征与买权完全相同。,8,在当前时刻t，已知股票的价格为s，构造上述组合的成本为,在到期时刻T，若希望该组合的价值v与买权的价值完全相同则必须满足,由上两式得到,由此得到的组合 称为合成期权
4、（synthetic option），由无套利定价原则，在当前时刻t买权的价值为,10,例子,假设有1个股票买权合约，到期日为1年，执行价格为112美元，股票当前的价格为100美元，无风险利率为8（连续复利折算为单利）。在到期日股票的价格有两种可能：180美元或者60美元，求期权的价值？,11,12,Dicussion: Risk-neutral probability,p is Risk-neutral probability for all securities 。 stocks expected relative return is,Options expected relative r
5、eturn is,So，p is a variable which make riskful stock and call options expected return are both only riskless interest rate.For the above reason, We call p “risk neutral probability”.,13,Dicussion: Risk-neutral probability,在风险中性世界中，主观概率q没有出现。虽然个人对q的信念是不同的，但是在期权的定价过程中并没有涉及到q，也就是人们对q认识的分歧并不影响对期权的定价结果。投
6、资者最终都一致风险中性概率p，它只取决于r，u，d这三个客观因子。,14,Dicussion: Risk-neutral probability,风险中性世界，不必考虑风险，这等价于假设投资者是风险中性的。若在期初构造如下组合：以S的价格买入N股股票，同时以c的价格卖出1个期权，则该组合的投资成本为NSc必然等于B。若sTsu,若sTSd,15,投资者虽然投资于有风险的股票和期权，但是由二者构成的组合NSc，即相当于投资1个无风险的证券。组合贴现率的贴现率只能是无风险利率由于是无风险证券，对于理性投资者，不论其偏好如何，其风险态度对于这样的组合是无关紧要。只要考虑收益的大小即可，由此大大简化资
7、产的定价。基于上述的理由，只要以上述方式构建投资组合来对期权定价，就等价于假设投资者是风险中性的，既然是风险中性的，则对这样的组合定价就不必考虑风险问题。,16,由于标的资产市场价格是1个连续（接近连续）的随机变量，不可能只有2种情形，因此可以考虑将时间T-t分为多段处理，首先介绍两阶段模型。,5.3 两阶段二叉树定价模型,两阶段模型（Two-step binomial tree)若把从定价日t至到期日T的时间区间T-t，划分为2个阶段，在每1个阶段，仍然假设标的资产价格只可能取2种状态，上涨和下跌，且上涨和下跌的幅度相等，则第2阶段结束时候（t=T），标的资产价格的取值为3个，并且令h为每个
8、阶段的时间长度,17,两阶段模型示意图,其中，u1/d,18,第2期本来有4种状态，为简化分析，不妨规定u=1/d，则第2、3两种状态为同一结果，故将其合并。期权到期日价值的所有可能值为,两阶段模型,19,由1阶段模型可知，在风险中性条件下,注意：风险中性概率p只与r，h，u，d有关，当上述值确定下来后，两个阶段的p就完全相同，这也正是阶段平分的优点。,20,当前时刻t，期权的价值为,21,定价思路：倒推定价法,首先得到2期节点的股票价格，从而得到该期的期权价格。采用风险中性定价，通过贴现得到1期节点的股票价格和期权价格。由1期的股票价格得到期权价格，得到当前期权的价格。风险中性定价下，每一期
9、的风险中性概率都是相同的。,22,将定价日t到到期日T的时间进一步等分为n个阶段，每个阶段的长度为h,5.4 n阶段二叉树定价模型,标的资产在到期日的状态可能取值为n1个.若n，即每个阶段所对应的长度无穷小，则完全有理由用二叉树来近似表示标的资产价格的连续变化过程。数学意义：根据中心极限定理，若n充分大，则二项分布收敛于正态分布思路：推导出n期的二项式模型，然后令n趋于无穷。,23,标的股票当前价格为St=S，而在以后任意一期，股价的变化有上升和下降两个可能。这样经过n期后（到期日T），若该股票上涨j次，下跌n-j次，到期日T股价ST为,由概率论可知，sT服从二项分布（binomial dis
10、tribution) ，所以，具有j次上涨，n-j次下降的股票价格sT的概率为,24,recall： binomial distribution,假设在一个不透明的袋子中有N个球，其中M个是白色的，其余N-M个球是黑色的，则每次取球取到白球的概率是p=M/N。若有放回地取球n次，称之为n重贝努里试验。在贝努里试验中刚好取到j次白球的概率记为b(j;n,p),25,recall： binomial distribution,由于b(j;n,p)刚好是二项式,例如第j项就是,故上述分布又称为二项式分布，并且成立,26,recall： binomial distribution,由于二项式分布计算复
11、杂，为简化计算。当n，可以用正态分布逼近（定理：独立同分布下的中心极限定理）。设随机变量Ynb(j;n,p)，则随机变量,27,参照2阶段模型的思路，从最后的n期（T时刻）开始逐期向前推导，则期权在当前时刻t的价格为,公式意义：在风险中性世界里，将期权到期时所有的可能值对当前时刻贴现，并以风险中性概率加权，得到的是期权现值的期望值。此期望值是期权的真实值吗？,28,For example: two-step binomial trees,29,5.5 CRR model: n-step binomial trees,30,31,How to compute u or d?,33,Choosin
12、g u and d,One way of matching the volatility is to set,where s is the volatility and h is the length of the time step. This is the approach used by Cox, Ross, and Rubinstein. Neutral-risk probability is,34,Simplify first term,=1,35,Binomial equation,36,37,Simplify second term,38,Simplify all terms,N
13、ext step, we must deduce d1 and d2 when n,39,deducing d1 and d2 (for m),40,deducing d1 and d2 (for p),41,42,43,deducing d2,44,Result: Black-Scholes formula,45,5.6 How to choose u and d,Black-scholes model assume the motion of stock price satisfies the Geometry Brown motion or logarithm normal distri
14、bution,46,How to choose u and d,In binomial model, we assume,q is probability of stock price up in real worlds.,47,How to choose u and d,48,49,So, we find one solve of the equation,In risk-neutral world, the return of securities must be r, which means,50,Disscusion: Choosing u and d,We have know neu
15、tral probability p for any step,51,We can get,Prove: in risk-neutral world,Varian of a stocks return in,According to Geometry Brown motion,52,53,Substituting for u and d, the terms of higher than 2 power are ignored.,From Cox，Ross and Rubinstein(1979),54,美式期权可以提前执行，提前执行从表面上看是一个非常微小的变化，但是欧式期权与美式期权（尤其
16、是看跌期权）价值有很大的不同。We know the value of the option at the final nodesWe work back through the tree using risk-neutral valuation to calculate the value of the option at each node, testing for early exercise when appropriate美式期权没有解析解，故采用二叉树方法来逼近。,5.7 Application: American option pricing,55,American option
17、 pricing,56,以无收益证券的美式看跌期权为例。把该期权有效期划分成N个长度为h的小区间，令 表示在时间 时第j个结点处的美式看跌期权的价值，同时用 表示结点 处的证券价格，可得： 后，假定期权不被提前执行，则在风险中性条件下：,57,Example: American Put Option(See Example 16.1, page 391),S = 50; X = 50; r =10%; s = 40%; T = 5 months = 0.4167 (year); h = 1 month = 0.0833 (year); The parameters imply u = 1.12
18、24; d = 0.8909; = 1.0084; p = 0.5076,58,为了构造二叉树，我们把期权有效期分为五段，每段一个月（等于0.0833年）。可以算出：,59,Example,X50,60,5.5 二叉树模型的程序,example ：Price an American call option using a binomial model. Again, the asset price is $100.00, the exercise price is $95.00, the risk-free interest rate is 10%, and the time to matur
19、ity is 0.25 years. It computes the tree in increments of 0.01 years, so there are 0.25/0.01 =25 periods in the example. The volatility is 0.50, this is a call (flag = 1), the dividend rate is 0, and it pays dividend of $5.00 after three periods (an ex-dividend date). Executing the toolbox function,6
20、1,MATLAB financial toolboxAssetPrice, OptionPrice = binprice(Price, Strike, Rate, Time, Increment, Volatility, Flag, DividendRate, Dividend, ExDiv)StockPrice, OptionPrice = binprice(100, 95, 0.10, 0.25,0.05, 0.50, 1, 0, 5.0, 3);,StockPrice = Columns 1 through 4 100.0000 111.2713 123.8732 137.9629 0
21、85.9677 100.0495 111.3211 0 0 80.9994 90.0175 0 0 0 72.9825 0 0 0 0 0 0 0 0 Columns 5 through 6 148.6915 166.2807 118.8981 132.9629 95.0744 106.3211 76.0243 85.0175 60.7913 67.9825 0 54.3608,63,OptionPrice = Columns 1 through 4 12.1011 15.1708 25.3470 42.9629 0 5.3068 5.4081 16.3211 0 0 1.3481 2.740
22、2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Columns 5 through 6 54.1653 71.2807 24.3719 37.9629 5.5698 11.3211 0 0 0 0 0 0,64,Key conclusions,二叉树模型的基本依据：假设资产价格的运动是由大量的小幅度二值运动构成，用离散的随机游走模型模拟资产价格的连续运动可能遵循的路径。二叉树模型与风险中性定价原理相一致，即模型中的收益率和贴现率均为无风险收益率，资产价格向上运动和向下运动的实际概率并没有进入二叉树模型，模型中隐含导出的概率是风险中性世界中的概率，从而为期权定价。当二叉树模型相继两步之间的时间长度趋于零的时候，该模型将会收敛到连续的对数正态分布模型，即Black-Scholes方程。,
