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1、第8章 线性动态电路的时域分析,电路理论基础,潘双来, 邢丽冬. 电路理论基础（第2版）. 清华大学版社, 2007.,8.1 动态电路及其方程,2,稳态（steady state）: 外施激励作用在电路上已经很久，只要电路的结构和参数一定，电路中的响应也呈稳定规律变化。,暂态（transient state） : 电路的工作条件突然变更，如开关动作；故障；参数的变化，稳态破坏，电路的响应出现变动，一段时间后，电路中电流、电压又会达到一个新的稳定值，即达到新的稳态。,电路从一个稳态到另一个稳态间的过渡过程称为暂态。,第8章 线性动态电路的时域分析,线性动态电路：含有线性储能元件（动态元件）的电
2、路称为线性动态电路，简称动态电路。,研究电路的暂态 可以确定电力系统的保护措施避免电路的振荡可获得最优最快的控制特性,3,8.1 动态电路及其方程,换路：电路工作条件的改变称为换路。将换路发生的时刻或时间点称为初始瞬间记为t=t0，一般取t=0，把换路前趋近于换路时的一瞬间记为t=0-（t= t0-），把换路后的初始瞬间记为t=0+ （t=t0+）。,状态：电路中电容上的电压和电感上的电流直接反映了电路的储能情况，因此常常将uC(t)，iL(t)称为电路的状态。它们是确定电路响应的最少信息（数据），其为变量即所谓的状态变量列写动态电路的方程。,4,换路后电路方程：仍由KL及VCR可得微分方程,
3、以uC(t)为变量,8.1 动态电路及其方程,以iL(t)为变量,5,8.1 动态电路及其方程,P221，图8-1，一阶电路,换路定律：,对于线性电容，在任意时刻t其电压（电荷）与电流的关系为：,8.2 初始条件和初始状态,6,第8章 线性动态电路的时域分析,uC(0-)，iL(0-) 为换路前瞬间电路的状态，uC(0+)，iL(0+) 为换路后初始瞬间的状态，简称初始状态。由初始状态可以确定电路其它电气量换路后初始瞬间的值，即初始条件。对于n阶电路，除待求变量的初始值外，初始条件还包括1到n-1阶导数的初始值。,7,初始瞬间,一般的电路在换路瞬间通过电容的电流为有限值，同时时间是连续的所以：
4、,8.2 初始条件和初始状态,电容上的电荷和电压在换路前后不发生跃变。（通过电流为有限值时）,8,8.2 初始条件和初始状态,对于线性电感，在任意时刻t其电流（磁链）与电压的关系为：,初始瞬间,9,8.2 初始条件和初始状态,一般的电路在换路瞬间加在电感的电压为有限值，同时时间是连续的所以：,电感上的磁链和电流在换路前后不发生跃变。（所加电压为有限值时）,10,8.2 初始条件和初始状态,求得换路前电路稳态时的状态值，即uC(0)、 iL(0) ，由换路定律可得电路的初始状态值uC(0+) ，iL(0+)；在t=0+时，将电容看作值为uC(0+ )的电压源，电感看作值为iL(0+)的电流源，独
5、立源取t=0+的值，从而建立t=0+的电路模型，求得电路的各个电气量的初始值即初始条件。,初始值的确定：,画出t= 0- 的电路图，求开关打开前 uC (0-), iL(0-),例：图示电路，已知：,11,8.2 初始条件和初始状态,求开关打开瞬间的,由换路定理，画出t=0+的电路图,12,8.2 初始条件和初始状态,P222，例8-1,13,进一步可求各阶导数的初始值,换路后的电路图,P223，例8-2,8.2 初始条件和初始状态,动态电路的响应由两种激励(excitation)产生：独立电源的输入（input)（外施激励源） 动态元件储能的释放即初始状态（state）（内部激励源）。 外施
6、激励源为零，由初始状态引起的响应称为零输入响应（zero-input response）； 初始状态为零，由外施激励源引起的响应称为零状态响应（zero-state response）； 外施激励源和初始状态共同引起的响应称为全响应（complete response）。,动态电路的响应:,8.3 一阶电路的零输入响应,14,第8章 线性动态电路的时域分析,一阶电路的定义：换路后，电路中仅含一个或者可以等效为一个储能元件的线性电路，其电路方程是一阶常系数微分方程，称为一阶电路。,一、一阶RC电路的零输入响应,电路换路前电路已达稳态，电容器充电至电源电压：,在t=0时，开关突然由a打向b，电容通
7、过电阻R形成回路放电，此时电路已没有外施激励源，响应由电容的初始状态引起，即零输入响应。,15,第8章 线性动态电路的时域分析,由KVL得：,是uC的一阶齐次微分方程，用分离变量法解之,两边取积分：,方程变形为：,16,8.3 一阶电路的零输入响应,得：,将初始条件,代入方程得,任意一阶RC电路的零输入响应为：,17,8.3 一阶电路的零输入响应,一阶RC电路的零输入响应有以下特点：,换路瞬间电容电压保持不变，电流发生突变形成放电过程。换路后，所有的响应都是按相同的指数规律衰减。,18,8.3 一阶电路的零输入响应,衰减的速度取决于1/RC（衰减系数）。,令 = RC， 具有时间的量纲，称为时
8、间常数。当R的单位为，C的单位为F时， 的单位为s（秒）,令p = -1/， p具有频率的量纲，称为固有频率。,越大，衰减越慢，放电时间越长； 越小，衰减越快，放电时间越短,19,衰减的指数规律仅由电路的结构和参数决定与变量的选择无关。,衰减指数曲线上任一点P处切线的切距长度等于,响应与其初始值成正比。初始值增大几倍，响应增大几倍。,一阶RC电路的零输入响应是靠电容中储存的电场能的释放维持，释放的能量同时被电阻消耗，暂态过程最后以能量的耗尽而告终。此为一阶RC电路的零输入响应的实质。WR=WC,20,8.3 一阶电路的零输入响应,一阶RC电路的零输入响应的求解步骤：,求解电路换路前的状态；,求
9、时间常数：,求解电路换路后初始值；（8.2节）,代入（*）式,21,8.3 一阶电路的零输入响应,R为换路后从电容两个端钮看进去的等效电阻,二、一阶RL电路的零输入响应：,电路换路前电路已达稳态：,在t=0时，开关突然合上，电感通过电阻R形成回路，此时电路已没有外施激励源，电路中的响应由电感的初始状态引起，即为零输入响应。,由KVL得：,22,8.3 一阶电路的零输入响应,是关于iL的一阶齐次微分方程，用分离变量法解之,两边取积分：,方程变形为：,23,8.3 一阶电路的零输入响应,得：,将初始条件,代入方程得,一阶RL电路的零输入响应有以下特点：,换路瞬间电感电流保持不变，电压发生突变释放磁
10、场能。换路后，所有的响应都是按相同的指数规律衰减。,衰减的指数规律仅由RL电路的结构和参数决定与变量的选择无关。,衰减的速度取决于R/L（衰减系数）。,24,8.3 一阶电路的零输入响应,令 = L/R， 具有时间的量纲，称为时间常数。当R的单位为，L的单位为H时， 的单位为s（秒）,令p = -1/， p具有频率的量纲，称为固有频率。,越大，衰减越慢，放电时间越长； 越小，衰减越快，放电时间越短,25,衰减指数曲线上任一点P处切线的切距长度等于,响应与其初始值成正比。初始值增大几倍，响应增大几倍。,一阶RL电路的零输入响应是靠电感中储存的磁场能的释放维持，释放的能量同时被电阻消耗，暂态过程最
11、后以能量的耗尽而告终。此为一阶RL电路的零输入响应的 实质。WR=WL,一阶RL电路的零输入响应的求解步骤：,求解电路换路前的状态；,求时间常数：,求解电路换路后初始值；（8.2节）,代入（*）式。,26,8.3 一阶电路的零输入响应,R为换路后从电感两个端钮看进去的等效电阻,27,线性一阶电路的零输入响应的要点：,一阶电路的零输入响应与其换路后的初始值成正比响应模式，为（*）式 ：,时间常数决定于电路的结构和参数。,8.3 一阶电路的零输入响应,为换路后任意支路的电压或电流,为换路后的初始值,RC电路中=RC，RL电路中=L/R，R为换路后从电容C或电感L两端钮看进去的等效电阻,P228，例
12、8-3P229，例8-4,线性一阶电路的零输入响应与初始状态呈线性关系。,一、一阶RC电路的零状态响应：,开关闭合前电容器未充电即处于零状态：,开关闭合后，电源通过R、C形成回路，给电容充电。电路的初始状态为零，响应由外施激励源引起，为零状态响应。,此为一阶常系数非齐次微分方程其解由两部分组成：,8.4 一阶电路的零状态响应,28,第8章 线性动态电路的时域分析,以uC(t)为变量列写微分方程为：,29, 特解：一般与微分方程常数项（外施激励源）的形式相同，是满足原非齐次微分方程的一个解。,由电路知，US是换路后电路重新达到稳态，即t=+时，电容的电压。,（恒定量），代入原方程得B=US，即,
13、 通解:,对应齐次方程 的解,（ = RC为时间常数）,8.4 一阶电路的零状态响应,从上述过程可以看出：,30,8.4 一阶电路的零状态响应,完全解：,将uC(0+)=uC(0-)=0代入方程得A=-US,由完全解可知，对于直流激励，有：,一阶RC电路的零状态响应有以下特点：,电容上的电压（状态）由两部分组成：,方程的特解，即电路达到稳态时的稳态值。它受外施激励源制约，也称为强制响应分量。,方程的通解，其变化规律与零输入响应相同，按指数规律衰减为零，只在暂态过程中出现故称暂态响应分量。其形式与外施激励源无关也称为固有响应(自由响应)分量。起始值与外施激励源有关。,a:稳态响应分量：,b:暂态
14、响应分量：,31,8.4 一阶电路的零状态响应,电流在换路瞬间发生突变，其值为US/R即换路后的初始值，电路以此值开始给电容充电，随着极板上的电荷增多电容电压的增大，i=(US-uC)/R减小，最后为零，电容电压为US。,一阶RC电路的零状态响应实质是电路储存电场能的过程。电源在充电过程中提供的能量，一部分转化成电场能储存在电容中，一部分被电路中的电阻消耗。且有 WC=WR电源提供的能量只有一半储存在电容中。充电效率50，与电阻电容数值无关。,32,8.4 一阶电路的零状态响应,二、RL电路的零状态响应：,开关闭合前电感中无电流电即处于零状态：,开关闭合后电源通过R、L形成回路，此时电路的初始
15、状态为零，响应由外施激励源引起，为零状态响应。,33,8.4 一阶电路的零状态响应,以iL(t)为变量列写微分方程为：,暂态分量（通解）：,（=L/R为时间常数）,稳态分量（特解）：,34,8.4 一阶电路的零状态响应,完全解：,将iL(0+)=iL(0-)=0代入方程得：,一阶RL电路的零状态响应有以下特点：,电感上的电流（状态）从初始值开始逐渐增加，最后达到新的稳态值。其暂态分量和稳态分量的意义与RC电路相同。,电压在换路瞬间发生突变，其值为US即换路后的初始值，电路以此值开始在线圈中储存磁场能。,一阶RL电路的零状态响应实质是电路储存磁场能的过程。电源提供的能量，一部分转化成磁场能储存在
16、电感中，一部分被电路中的电阻消耗。且有 WL=WR电源提供的能量只有一半储存在电感中。储能效率50，与电阻电感数值无关。,35,8.4 一阶电路的零状态响应,外施激励源为直流的一阶电路的零状态响应的步骤,求出换路后动态元件以外的戴维南等效电路。,据状态变量的响应模式得：,将电容看作电压源、电感看作电流源回到换路后的原电路按电路的基本约束关系求解其它电压和电流。,36,8.4 一阶电路的零状态响应,对于线性动态电路，零状态响应是输入的线性函数,三、外施激励源为正弦量的一阶电路的零状态响应：, 特解：与外施激励源的变化规律相同。电路达到稳态时的稳态值，是与外施激励源同频率的正弦量。用相量法求之：,
17、37,8.4 一阶电路的零状态响应,以iL(t)为变量列写微分方程为：,特解分量为：,通解（暂态分量）：,（稳态分量在起始时刻的值）,38,8.4 一阶电路的零状态响应,（=L/R为时间常数）,将iL(0+)=iL(0-)=0代入方程得,电感电流：,电感电流由稳态分量和暂态分量共同组成。暂态分量经一定时间衰减后，电路进入稳定状态。暂态分量的大小与稳态分量起始时刻的值成正比。,39,电感电流：,当-Z=/2 时，暂态分量的起始值为零，电路合闸后直接进入稳态。当-Z=0时，暂态分量的起始值最大，电路合闸后的半个周期附近出现最大电流（过电流）。,8.4 一阶电路的零状态响应,外施激励源为正弦量时的一
18、阶电路的零状态响应的步骤如前。实为求解稳态值和时间常数两要素。直流激励可看作正弦激励的特例。,40,8.4 一阶电路的零状态响应,电感电流模式,电容电压模式,P234，例8-5P235，例8-6,全响应为零输入响应和零状态响应之和。,8.5 一阶电路的全响应 三要素法,41,零状态响应：,零输入响应：,全响应：,第8章 线性动态电路的时域分析,42,零状态响应,零输入响应,稳态分量,暂态分量,任意一个全响应：,全响应：,将t=0+时的各值代入得：,全响应：,直流激励有：,全响应：,三要素法求解一阶电路的全响应的步骤,画出换路前稳态电路，求状态值uC(0-) ，iL(0-) 。,据换路定律画出换
19、路瞬间（0+）时刻的暂态电路求初始值f(0+)。,画出换路后电路重新达到稳态时的电路，求f()，注意正弦稳态需用相量法。,求动态元件以外的除源等效电阻，进一步求出时间常数， RC, = L/R。,代入三要素模式,43,8.5 一阶电路的全响应 三要素法,交流：,直流：,例：图示电路原已处于稳态。若t =0时将开关S闭合，试求换路后2电阻中的电流及电感电流，并绘出其波形 。,解：,（1）换路前稳态电路,（2）换路后0+暂态电路,44,8.5 一阶电路的全响应 三要素法,（3）换路后稳态电路,（4）三要素,45,46,8.5 一阶电路的全响应 三要素法,P238，例8-7P240，例8-8P241
20、，例8-9,8.13 状态方程,47,第8章 线性动态电路的时域分析,对于分析复杂的高阶电路、非线性电路、时变电路，经典方法显得困难。,状态变量法有利于计算机辅助计算和分析，是系统化方法。不仅适用于线性电路，还适应于非线性电路和时变电路。,一阶RC电路的状态：uC(t)一阶RL电路的状态：iL(t),电路在任一时刻的状态是指在该时刻电路所必须具备的最少信息的集合,状态变量：描述网络状态的一组数量最少的变量。,二阶RLC电路的状态：uC(t) 和iL(t),48,动态电路的分析关键是对状态变量的分析,一、状态方程和输出方程：,二阶电路以一个状态量为变量则列写的是一个二阶微分方程；以两个状态量(u
21、C, iL)为变量则列写两个一阶微分方程，即一阶微分方程组,节点,回路,又有,上式是状态变量的一阶导数与状态变量及外施激励源之间的关系方程，称为状态方程（state equation）。,8.13 状态方程,49,称为状态向量；,为状态向量的一阶导数,称为输入（激励）向量,A和B是与网络结构及元件参数有关的系数矩阵,A是n阶方阵，B是nm阶矩阵（控制矩阵或驱动矩阵）,8.13 状态方程,状态方程：表示状态变量与激励函数之间关系的一阶微分方程组。,（一般形式、标准形式）,50,输出方程：是一组表示输出量与状态变量和激励（输入量）之间的关系的方程。是一组线性代数方程，每一个方程表示一个输出量为状态
22、变量和输入量的线性组合。,8.13 状态方程,51,二、状态变量的选取,网络的状态变量的个数就是电路的独立动态元件的个数。也就是一阶微分方程组中方程的个数。通常称为网络的复杂性的阶或网络的阶。,电路中含有纯电容回路（包括电压源）时，据KVL：回路中必然有一个电容电压能被其它电容电压表示（不独立）；含有纯电感割集（包括电流源）时，据KCL：割集中必然有一个电感电流能被其它电感电流表示（不独立）。不独立的电容电压、电感电流不能作为网络的状态变量。,8.13 状态方程, 对于不含受控源的网络，若其储能元件的个数为nCL，纯电容回路（仅有电容元件和电压源）数为nC，纯电感割集（仅由电感元件和电流源构成
23、）数为nL，则独立变量数为：,不含有纯电容回路和纯电感割集的网络称为常态网络(proper network)，常态网络中所有的电容电压和电感电流都是独立的，一般选取所有的状态量为变量。,52,8.13 状态方程,53,三、状态方程的列写（直观法）：,对只含一个电容的节点（割集）列写KCL方程；,对只含一个电感的回路列写KVL方程；,通过其它的KVL和KCL方程消去非状态变量。,例：列写图示电路的状态方程：,解（1）选择节点列KCL方程,8.13 状态方程,（2）选择回路1列写KVL方程,（3）选择回路2列写KVL方程消去非状态变量,代入（1）（2）两步整理后得：,54,8.13 状态方程,55
24、,写成标准形式：,8.13 状态方程,P275，例8-21,56,8.13 状态方程,系统法列写,利用特有树（proper tree）列写状态方程，适用于比较复杂的电路。,特有树：将电路中每一元件作为一条支路画有向图，特有树包含电路中所有的电压源和电容支路，而不包含任何电流源和电感支路。对于常态网络，至少可以选出一个特有树。,方程列写：选定特有树后，对每一个单电容树支割集列写KCL方程，对每一个单电感连支回路列写KVL方程，然后消去方程中的非状态变量。,P275，例8-22,57,四、状态方程的求解,（1）复频域：拉氏变换法,（2）时域：幂级数法,（3）数值解法（计算机）：欧拉法、龙格-库塔法,8.13 状态方程,
