第6章 空间力系及重心ppt课件.ppt

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1、第6章 空间力系及重心,6.1 力在空间直角坐标轴上的投影 6.2 力对轴之矩及合力矩定理 6.3 空间力系的平衡方程及其应用 6.4 重心的概念 思考题 习题,6.1 力在空间直角坐标轴上的投影,6.1 力在空间直角坐标轴上的投影,6.1.1 直接投影法力在空间直角坐标轴上的投影定义与在平面力系中的定义相同。若已知力F与x、y、z坐标轴之间的夹角分别为、，如图6-2所示，就可以直接依照定义求出力在各坐标轴上的投影， 即,（6-1）,这种求解方法称为直接投影法。,图6-2,6.1.2 二次投影法如图6-3所示，若已知力F、力F与z轴的夹角及力F在Oxy平面内的投影Fxy与x轴的夹角，则可采用二

2、次投影法， 求出F在x、y、z坐标轴上的投影。即先将力F分解到z轴和Oxy坐标平面上，得到分力Fz和Fxy，然后再将分力Fz投影到z轴得到Fz，再将分力Fxy分别投影到x、 y轴上， 得到投影Fx和Fy， 其过程如下：,图6-3,于是,即可得出二次投影法的表达式,（6-2）,如果已知力F在三个坐标轴上的投影Fx、Fy、Fz，也可以求出力F的大小和方向。 其形式如下,（6-3）,其中, 、分别为力F与x、y、z轴之间所夹的锐角。,例6-1已知圆柱斜齿轮所受到的啮合力Fn1410 N，齿轮压力角20，螺旋角25，如图6-4（a）所示。 试计算斜齿轮所受到的圆周力Ft、轴向力Fa和径向力Fr。,图6

3、-4,解 取坐标系如图6-4（a）所示，使得x、y、z轴分别沿齿轮的轴向、圆周的切线方向和径向。先把啮合力Fn向z轴和Oxy坐标平面投影，得,Fn在Oxy平面上的分力Fxy，其大小为,然后把Fxy投影到x、y轴上(如图6-4(b)所示)， 得,6.1.3 合力投影定理将平面力系的合力投影定理推广到空间力系同样适用。 设有一空间力系F1、F2、 、 Fn，其合力为FR，则FR在坐标轴x、y、z上的投影， 等于各分力F1、F2、Fn在同一坐标轴投影的代数和, 写成代数表达式为,（6-4）,式（6-4）称空间力系的合力投影定理。,6.2 力对轴之矩与合力矩定理,6.2.1 力对轴之矩的概念在工程中，

4、常常遇到刚体绕定轴转动的情形。为了度量力对转动刚体的作用效果，必须引入力对轴之矩的概念。 现以关门动作为例，在图6-5中，门的一边有固定轴z， 在A点作用一力F，为度量此力对门的转动效应，可将力F分解为平行于z轴的分力Fz和垂直于z轴的xy平面内的分力Fxy。由经验可知，分力Fz不能使门绕z轴转动，只有分力Fxy才对门有绕z轴转动的作用，故Fz对z轴的矩为零。用Mz（F）表示F对轴z的矩，以d表示z轴与xy平面的交点O到Fxy作用线的距离，则,（6-5）,当力与轴共面时（相交或平行），力对轴的矩为零。,图6-5,力对轴的矩在轴上的投影是代数量，其量纲为Nm。力矩的正负代表其转动的方向，当从z轴

5、的正向逆看，逆时针转向为正，顺时针转向为负。读者也可用右手螺旋法则判定力对轴之矩的正负。,6.2.2 合力矩定理设有空间力系F1、F2、Fn，其合力为FR，则合力对轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代数和，表达式为,（6-6）,式（6-6）称为合力矩定理。,设有一个空间力F，作用点A的坐标为（x，y，z），该力在三个坐标轴上的分力大小（即该力在x、y、z轴上的投影）分别为Fx，Fy和Fz，则该力对三个坐标轴的矩为（证明从略）,（6-7）,例6-2手柄ABCD在xy平面内，在D点作用一个力F，该力在和xz平面平行的平面内，如图6-6所示。试求F对x、y、z轴的矩。 解 将力F沿坐标轴分解为Fx、Fz

6、两个分力。其中,根据合力投影定理， 并注意到力对平行于自身的轴之矩为零，有,图6-6,例6-3 如图6-7所示（单位：cm），已知F1F2F3F100N，求：（1）各力在x、y、z坐标轴上的投影；（2）力F3对各轴之矩。,图6-7,解 (1) 计算各力在坐标轴上的投影：,F1：,F2：,F3：,() 求F3对各轴的矩: F3作用于A点，根据图中尺寸， 容易得到A点的坐标为（40，0，30），由式（6-7）得,6.3 空间力系的平衡方程及其应用,6.3.1 空间任意力系的平衡方程与平面任意力系一样，利用力的平移定理，可将空间力系简化为一个主矢FR和一个主矩MO。空间任意力系的平衡条件为主矢和主矩

7、均为零， 即,由此，可得空间任意力系的平衡方程为,（6-8a）,（6-8b）,前三个称为投影方程， 后三个称为力矩方程。,6.3.2 空间汇交力系的平衡方程 空间力系中各力的作用线汇交于一点，称为空间汇交力系。如选取汇交点为坐标原点，在式（6-8）中力矩方程为恒等式， 则可得空间汇交力系的平衡条件为,（6-9）,式（6-9）称为空间汇交力系的平衡方程。此式有三个独立方程， 可解出三个未知量。,6.3.3 空间平行力系的平衡方程空间力系中各力的作用线相互平行，称为空间平行力系。 如选取z轴和力的作用线平行，在式（6-8）中，Fx0， Fy0，Mz（F）0为恒等式，则空间平行力系的平衡条件为,（6

8、-10）,式（6-10）称为空间平行力系的平衡方程。此式有三个独立方程， 可解出三个未知量。,6.3.4 空间力系平衡问题举例求解空间力系平衡问题的基本方法和步骤与平面力系平衡问题相同， 也分三个步骤： （1） 选取研究对象和适当的坐标系， 并画出其受力图； （2） 根据所选坐标系， 列出平衡方程； （3） 求解所列平衡方程， 求出未知量。,表6-1 常见的空间约束及简化图,表6-1 常见的空间约束及简化图,例6-4两杆AB、AC铰接于A点，在A点悬挂一重物G1000 N，并用绳子AD系于D点，AB、AC等长且互相垂直，A、B、C、O在一个平面上， 如图6-8所示。求杆及绳子所受到的力。 解取

9、销A为研究对象，AB、AC均为二力杆，设AB、AC杆均受拉，销A的受力图如图6-8所示，如图建立坐标系。 本题为一个空间汇交力系， 有三个未知量。,图6-8,列平衡方程：,求解以上方程得,FT2000N，FxFy-1225N,负号表示图中所示力的方向与实际力的方向相反，图中假设两杆受拉，而实际两杆均受压。,例6-5图6-9所示为一三轮起重车简图，已知车重G12.5 kN，重力G的作用线通过ABC平面的D 点，AD延长后垂直平分BC。 起吊重W5 kN，W的作用线通过ABC平面的E点。求静止时地面对起重机各轮的反力（其他尺寸如图所示，单位为m）。 解 (1) 选取起重机为研究对象，画受力图并建立

10、坐标系如图6-9所示。 这是一个空间平行力系，有三个方程，有三个未知量， 可以求解。,图6-9,(2) 列平衡方程如下：,(3) 求解以上方程得：,FA=5.375N， FB=7.8N， FC=4.33N,例6-6 如图6-10所示为一脚踏拉杆装置。若已知FP500 N， AB40cm，AC=CD20cm，HCEH10cm，拉杆与水平面成30。 求拉杆的拉力和A、B两轴承的约束反力。,图6-10,解： 脚踏拉杆得受力图如图6-10所示，取坐标系如图，列平衡方程,例6-7图6-11所示手摇钻由支点B、钻头A和一个弯曲的手柄组成。当支点B处加压力FBx、FBy、FBz和手柄上加力F后， 即可带动钻

11、头绕AB转动而钻孔(尺寸如图所示，单位为mm)。 求：(1） 钻头受到的阻抗力偶矩M； (2） 材料给钻头的反力FAx、FAy、FAz；(3）压力FBx、FBy的值。 解手摇钻的受力情况属于空间任意力系。（1） 求钻头阻抗力偶矩M：,图6-11,（2） 计算B端压力：,（3）计算A端反力,例6-8起重绞车如图6-12所示。已知20，R200， r100，G10 kN。试求匀速提升重物时，轴承A、B的反力及齿轮所受的力FP（图中单位：mm）。 解 对于轮系机构，通常采用平面法求解，即将空间力系分别向三个坐标平面投影，得到三个平面力系，于是求解一个空间力系的问题被转换成求解三个平面力系的问题，此方

12、法称为空间问题的平面解法。本例就来介绍此方法。 取绞车为研究对象，建立坐标系并画受力图如图6-12（a）所示。 将此空间力系向三个坐标平面投影， 得到如图6-12(b)、(c)、(d)所示的三个平面力系。求解时，一般从符合求解条件的那个投影图解起。,图6-12,列平衡方程：xz平面：,yz平面：,xy面：,6.4 重 心 的 概 念,6.4.1 重心的概念 地球上的物体内各质点都受到地球的吸引力，这些力可近似地认为组成一个空间平行力系，该力系的合力为G，称为物体的重力。 不论物体怎样放置，这些平行力的合力作用点总是一个确定的点， 这个点叫做物体的重心。,图6-13,6.4.2 重心坐标公式设有

13、一个物体由许多小块组成，每一小块都受到地球的吸引，其吸引力为G1，G2，Gn，它们组成一个空间平行力系（图6-14）。该空间平行力系的合力为G，即为该物体的重力，即,若合力作用点为C（，），根据合力矩定理，对轴则有,所以,(6-11a),同理，对轴，则有,（6-11b）,若将物体连同坐标系统绕轴逆时针方向转过90o，再对轴应用合力矩定理，则可得,(6-11c),点C为重力作用点，就是物体的重心。式（6-11）即为重心的坐标公式。,图6-14,若物体为均质体，则G=V，Gk=Vi，代入式（6-11），并消去，可得,(6-12),可见，均质物体的重心位置完全取决于物体的形状。于是， 均质物体的重心

14、也就改称为形心。 如果物体不仅是均质的，而且是等厚平板，消去式（6-12）中的板厚，则其形心坐标为,(6-13),若平面图形处在xy平面内，即zC0，则平面图形的形心公式为,（6-14a）,(6-14b),上式表明，图形对某轴的静矩等于该图形各组成部分对同轴静矩的代数和。从上式可知，若轴通过图形的形心，即yC=0，则该图形对的静矩为零。相反，若图形对轴的静矩为零，必有 yC =0，即轴通过图形的形心。由此可得出结论： 1） 若某轴通过图形得形心，则图形对该轴的静矩必为零。 2） 若图形对某轴的静矩为零，则该轴必通过图形的形心。,6.4.3 重心及形心位置的求法 对称法（图解法） 对于均质物体，

15、若在几何形体上具有对称面、对称轴或对称点，则该物体的重心或形心亦必在此对称面、对称轴或对称点上。 若物体具有两个对称面，则重心在两个对称面的交线上； 若物体有两根对称轴，则重心在两根对称轴的交点上。例如， 球心是圆球的对称点，也就是它的重心或形心；矩形的形心就在两个对称轴的交点上。,运用此法时，应当善于在不对称的图形上找到对称的因素。例如，对任意三角形ABD，可将图形分隔成无数平行于底边AB的直线，每一条直线的形心在其对称点-中点上，这些中点联起来形成一条形心迹线DE。若以BD为底边，则又可以到另一条形心迹线AH，依对称律，ABD之形心必在DE与AH之交点C上，见图6-15(a)。,运用此法时

16、，应当善于在不对称的图形上找到对称的因素。例如，对任意三角形ABD，可将图形分隔成无数平行于底边AB的直线，每一条直线的形心在其对称点-中点上，这些中点联起来形成一条形心迹线DE。若以BD为底边，则又可以到另一条形心迹线AH，依对称律，ABD之形心必在DE与AH之交点C上，见图6-15(a)。,图6-15,2积分法（无限分割法）在求基本规则形体的形心时，可将形体分割成无限多块微小的形体。在此极限情况下，式（6-11a）（6-11b）（6-11c）均可写成定积分形式,（6-15）,3.组合法（有限分割法）组合法是将一个比较复杂的形体分割成几个形状比较简单的基本形体，每个形体的形心（重心）可以根据

17、对称判断或查表获得，而整个组合形体的形心由式（6-13）求得，具体求解方法以下面的例题加以说明。例6-9 如图6-16所示截面。其中a=100，b=300，c=200，（单位：mm）试求该截面的形心位置。,图6-16,解：方法一：如图选取坐标系，根据对称原理，该形体的形心必在轴上，故有yC0。 将截面分割为三部分C1、C2、C3，如图6-16（a）所示，每一部分都是矩形，其面积和形心坐标如下：,将以上数据代入公式（6-13），得,方法二：将形体分割成两部分：矩形ABCD和矩形EFHK，C1、C2分别代表各自形心位置，如图6-16（b）所示，其中EFHK的面积为负值。根据对称性，同样有yC=0。

18、,以上数据代入公式（6-13），得,在这一例题中，综合运用了对称法、组合法。,. 实验法 实验法常用来确定形状比较复杂，或质量不匀的物体，方法简单，且具有一定的准确度。实验法通常采用的方法是悬挂法（图6-17）和称重法（图6-18）。 图6-17采用两次悬挂，重心必在AB和DE的交点上。图6-18采用称重，记录FN，则,图6-17,图6-18,表6-2 基本形体的形心位置表,表6-2 基本形体的形心位置表,思 考 题,6-1 如力F与x轴的交角为，在什么情况下Fx=Fsin？此时Fx为多少？ 6-2 已知力F及F与x轴的夹角和与y轴的夹角，能不能算出Fz？ 6-3 一个空间问题可转化为三个平面

19、问题，每个平面问题有三个独立的平衡方程，为什么空间问题不能解出9个未知量？6-4 物体的重心是否一定在物体内部？将物体沿着过重心的平面截开，两边是否等重？,习 题,6-1如题6-1图，已知六面体的棱长分别为a10cm，b10cm，c8cm，其上作用有三个力F13kN，F23 kN，F35 kN，试计算各力在坐标轴上的投影。,题6-1图,6-2如题6-2图，力F作用于A点，求此力在坐标轴上的投影。,题6-2图,6-3圆柱斜齿轮传动时，轮齿受力如题6-3图所示，已知Fn1000N，=200，150试求将轮齿所受力法向力Fn分解为圆周力Ft、径向力Fr和轴向力Fa。,题6-3图,6-4如题6-4图所

20、示，水平轮上A点作用一力F=1kN，方向与轮面成=60的角，且在过A点与轮缘相切的铅垂面内，而点A与轮心O的连线与通过O点平行于y轴的直线成=45角，h=r=1m。试求力F在三个坐标轴上的投影和对三个坐标轴之矩。,题6-4图,6-5曲拐手柄如题6-5图所示，已知作用于手柄上的力F=100N，AB=100mm，BC=400mm，CD=200mm，=30。试求力F对x、y、z轴之矩。,题6-5图,6-6如题6-6图所示的悬臂刚架，作用有分别平行于x、y轴的力F1和F2。已知：F1=5kN，F2=4kN，刚架自重不计。试求固定端O处的约束反力和约束反力偶。,题6-6图,6-7墙角处吊挂支架由两端铰接

21、杆OA、OB和软绳OC构成，二杆分别垂直于墙面且由绳OC维持在水平面内，如题6-7图所示。结点O处悬挂重物，重量G=500N，若OA=300mm，OB=400mm，OC绳与水平面的夹角为30，不计杆重。试求绳子拉力和二杆所受的压力。,题6-7图,6-8如题6-8图所示的空间支架。已知：CBA=BCA=60，EAD=30，物体的重量为G=3kN，平面ABC是水平的，A、B、C各点均为铰接，杆件自重不计。试求撑杆AB和AC所受的压力FAB和FAC及绳子AD的拉力FT。,题6-8图,6-9三轮车连同上面的货物共重W=3kN，重力作用点通过C点，尺寸如题6-9图所示。试求车子静止时各轮对水平地面的压力。,题6-9图,6-10如题6-10图所示，变速箱中间轴装有两直齿圆柱齿轮，其分度圆半径r1=100mm，r2=72mm，啮合点分别在两齿轮的最低与最高位置，轮齿压力角=20，在齿轮I上的圆周力F1=1.58kN。不计轴与齿轮自重，试求当轴匀速转动时作用于齿轮II上的圆周力F1及A、B两轴承的约束反力。,题6-10图,6-11试求题6-11图所示各型材截面形心的位置。,题6-11图,6-12如题6-12图所示，机床重为25kN，当水平放置时（=00 ），秤上的读数为17.5kN；当200时秤上的读数为15kN。试确定机床重心的位置。,题6-12图,