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1、中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组,高等数学A,6.2.3 隐函数及其微分法,6.2 多元函数微分法,第6章多元函数微分学,6.2.3 隐函数及 其微分法,隐函数及其微分法,内容小结,思考题,一个方程所确定的隐函数及其导数,方程组所确定的隐函数组及其导数,方程确定的隐函数及求导习例2-5,方程组确定的隐函数及求导习例6-11,6.2 多元函数微分法,一、一个方程所确定的隐函数及其导数,定理1. 设函数,在点,的某一邻域内满足,则方程,单值连续函数 y = f (x) ,并有连续,(隐函数求导公式),定理证明从略，仅就求导公式推导如下：, 具有连续的偏导数;,的某邻域内可唯一确定一个,满足
2、条件,导数,两边对 x 求导,在,的某邻域内,则,若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续,二阶导数 :,则还有,例1. 验证方程,在点(0,0)某邻域,可确定一个单值可导隐函数,解: 令,连续 ,由 定理1 可知,导的隐函数,则,在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可,且,并求,两边对 x 求导,两边再对 x 求导,令 x = 0 , 注意此时,导数的另一求法, 利用隐函数求导,定理2.,注意:,(1) 证明从略, 求导公式推导如下:,(3) 也可求二阶偏导.,方程确定的隐函数及求导习例,例2. 设,解法1 利用隐函数求导,再对 x 求导,解法2 利用公式,设,则,两边对 x 求偏导,
3、例3.,设F( x , y)具有连续偏导数,解法1 利用偏导数公式.,确定的隐函数,则,已知方程,故,对方程两边求微分:,解法2 微分法.,解法1,代入所证等式的左边即可得结论.,解法2,等式两边对x求偏导得：,代入所证等式左边即可得结论成立.,解法1,解法2,解法3,利用两边全微分也可得到所求.,二、方程组所确定的隐函数组及其导数,在此举例说明求偏导的方法, 方程组确定的隐函数一般有以下几种情形:,确定了两个一元函数.,确定了两个二元函数.,确定了一个以u,v为中间变量x,y为自变量的二元函数.,隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.,由 F、G 的偏导数组成的行列式,称为F、G 的雅可比
4、( Jacobi )行列式.,以两个方程确定两个隐函数的情况为例 ,即,定理3.,的某一邻域内具有连续偏,设函数,则方程组,的单值连续函数,且有偏导数公式 :, 在点,的某一邻域内可唯一确定一组满足条件,满足:,导数；,定理证明略.仅推导偏导数公式如下：,有隐函数组,则,两边对 x 求导得,设方程组,在点P 的某邻域内,故得,系数行列式,同样可得,方程组确定的隐函数及求导习例,解1,方程组两边对 x 求导，并移项得,练习: 求,答案:,由题设,故有,解2,方程组两边对x求导得,解 (1) 令,式两边对 x 求导, 得,则有,由定理 3 可知结论 1) 成立.,2) 求反函数的偏导数.,从方程组
5、解得,同理, 式两边对 y 求导, 可得,从方程组解得,同理, 式两边对 y 求导, 可得,解,确定了一个以u,v为中间变量x,y为自变量的二元函数.,方程组两边对y求偏导得,同样地:,解,解,解,方程组两边对x求偏导得,内容小结,1. 隐函数( 组) 存在定理,2. 隐函数 ( 组) 求导方法,方法1. 利用复合函数求导法则直接计算 ;,方法2. 利用微分形式不变性 ;,方法3. 代公式,思考题,分别由下列两式确定 :,又函数,有连续的一阶偏导数 ,1. 设,解: 两个隐函数方程两边对 x 求导, 得,(2001考研),解得,因此,2. 设,是由方程,和,所确定的函数 , 求,解法1 分别在各方程两端对 x 求导, 得,(99考研),解法2 微分法.,对各方程两边分别求微分:,化简得,消去,可得,雅可比(1804 1851),德国数学家.,他在数学方面最主要,的成就是和挪威数学家阿贝儿相互独,地奠定了椭圆函数论的基础.,他对行列,式理论也作了奠基性的工作.,在偏微分,方程的研究中引进了“雅可比行列式”,并应用在微积分,中.,他的工作还包括代数学, 变分法, 复变函数和微分方,程,在分析力学, 动力学及数学物理方面也有贡献 .,他,在哥尼斯堡大学任教18年, 形成了以他为首的学派.,
