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1、1 第一型曲线积分,本节将研究定义在平面或空间曲线段上的第一型曲线积分.此类积分的典型物理背景是求非均匀分布的曲线状物体的质量.,二、第一型曲线积分的计算,一、第一型曲线积分的定义,第二十章 曲线积分,一、问题的提出,实例1:求曲线形构件的质量,均匀之质量,分割,求和,取极限,近似值,精确值,近似,取,(1),的第一型曲线积分, 并且记作,(2),曲线形构件的质量,注:曲线积分也是一个确定的常数，,它只与被积函,数f(x,y)及积分弧段L有关.,都存在, 则,也存在, 且,2.第一型曲线积分性质,则,且,使得,二 第一型曲线积分的计算,定理20.1 设有光滑曲线,基本思路:,计算定积分,求曲线
2、积分,说明:,因此积分限必须满足,(2) 注意到,上有连续的导函数时, (3)式成为,上有连续导函数时, (3)式成为,如果方程为极坐标形式:,则,推广: 设空间曲线弧的参数方程为,则,对弧长的曲线积分的计算步骤：,化为：,例1. 计算,其中 L 是抛物线,与点 B (1,1) 之间的一段弧 .,解:,上点 O (0,0),例2.,解:,所以,注：第一类曲线积分的对称性,例3. 计算,其中L为双纽线,解: 在极坐标系下,它在第一象限部分为,利用对称性 , 得,例4. 计算曲线积分,其中为螺旋,的一段弧.,解:,线,例5. 计算,其中为球面,被平面 所截的圆周.,解: 由对称性可知,例6. 计算,其中为球面,解:,化为参数方程,则,思考与练习,1. 已知椭圆,周长为a , 求,提示:,原式 =,利用对称性,分析:,作业：P201 1(2)(3)(4)(7);2,内容小结,1. 定义,2. 性质,( l 曲线弧 的长度),3. 计算, 对光滑曲线弧, 对光滑曲线弧, 对光滑曲线弧,复习思考题,使得,其中 s 是曲线 L 的弧长.,其中,3. 证明以下第一型曲面的轮换对称性:,
