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1、有限元分析有限元法原理建模及应用,车驰东 ,第一章 绪 论,第一节 有限元法的产生与基本思想工程中遇到的数学方程可以分为两种：1）代数方程2）微分方程 （例如：悬臂梁弯曲方程）,数学方程的求解方法1）解析法（精确解） 利用严格的数学推导进行求解2）数值法（近似解） 通过一定算法利用计算机进行求解 差分法常用的数值方法 变分法 有限元法,差分法 基本思路：用均匀的网格离散求解域，用离散点的差分代替微分，从而将微分方程转的求解转化为线性代数方程组的求解。例1：求解区间a,b上的一维函数y(x)，且y(x)满足,解：首先将a,b划分为n等分，相邻两节点之间的距离h称为步长，且h=(b-a)/n。 n
2、+1个节点上的函数值就是待求解的未知数,导数的数学定义：因此，可以用差分近似代替微分得：,在第1至第n-1个节点处将(1-2)及(1-3)代入(1-1)课得n-1个线性代数方程： 再利用边界条件有 这样就可以求得未知函数y(x)在n+1个节点上的近似值，而位于节点间的函数值则可以利用节点上的函数值线性插值求得。,变分法 基本思路：微分方程边值问题的解等价于相应的泛函极值问题的解。 也就是使得未知函数泛函取得驻值的y(x)就是方程的解。*里兹（Ritz）法 是从一族假定解中寻求满足泛函变分的“最好解” 因此，解的精确度取决于“试探函数”的选取。,边值问题的泛函表达式对于边值问题：其原问题的泛函可
3、以表达为,例2：求解以下边值问题解：将方程代入(1-4)求得其泛函,设试探函数可以表示为：则有：,根据多元函数分析，泛函取驻值的必要条件是其对各自变量的偏导均为零，如此可得： 这样,就可以得到由n个关于 的线性方程组成的方程组，求解该方程组就可以求出这n个待定系数，再回代到(1-7)就可以求出y的近似表达式。,例3：求解以下边值问题根据（1-4）可得泛函为：,1）选取试探函数：将其代入（1-8）进行计算后得泛函为：然后使泛函对a的偏导等于零，有：,2）选取试探函数：将其代入（1-8）进行计算后得泛函为：然后使泛函对a的偏导等于零，有：,有限元法 在差分法和变分法的基础上建立起来的，结合了两种方
4、法的优点。,基本思想：1）离散 差分法： 对方程进行离散 网格规则 有限元法：对物理模型进行离散 网格不规则 (即使写不出方程也可以求解)2）分片插值 变分法：在整个求解区域采用统一插值函数 有限元法：针对每一个单元选择插值函数,有限元法的产生1943年，Courant尝试应用定义在三角区域上的分片连续函数和最小位能原理相结合，求解St. Venant扭转问题。现代有限元法的第一个成功尝试是Turnet,Clough等人在分析飞机结构时于1965年得到的成果，是将刚架位移法推广应用于弹性力学平面问题。1960年，Clough进一步处理了平面弹性问题，并第一次提出了“有限单元法”的名称。,Tur
5、ner等人最早提出有限单元法时是利用直接刚度法，它来源于结构分析的刚度法，只能处理一些比较简单的实际问题。1963-1964年，Besseling,Melosh和Jones等人证明了有限单元法是基于变分原理的里兹法的另一种形式。1960年后，随着电子计算机的发展，有限单元法的发展速度才显著加快。,第二节 有限元法的应用有限元的优越性1) 能够分析形状复杂的结构2) 能够处理复杂的边界条件3) 能够保证规定的工程精度4) 能够处理不同类型的材料,有限元的应用领域1）线性静力分析2）动态分析3）热分析4）流场分析5）电磁场计算6）非线性分析7）过程仿真,第三节 有限元的实施过程有限元法是当今主要的CAE方法有限元的实施过程1）原理研究2）软件开发3）应用研究,
