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1、第三章 插值与逼近,本章主要内容： 1、拉格朗日插值方法 2、牛顿插值方法 3、埃尔米特插值方法 4、曲线拟合,作用：由物理量离散的分布近似得到其连续的变化规律。,实际问题中经常要涉及到函数值的计算问题：（1）如果函数表达式本身比较复杂，且需要多次重复计 算时，计算量会很大； （2）有的函数甚至没有表达式，只是一种表格函数，而 我们需要的函数值可能不在该表格中。 对于这两种情况，我们都需要寻找一个计算方便且表达简单的函数来近似代替，这就是插值问题。,问 题 背 景,第一节 引言,定义：,已知定义于区间 上的实值函数 在 个互,一、问题的引出,这里,构造一个函数 P (x)，满足,（1）,作为函
2、数y = f (x)的近似，称这样的问题为插值问题。满足关系式（1）的P (x)为f (x)的插值函数，f (x)为被插值函数， a, b为插值区间， 为插值节点，（1）式为插值条件。,插值类型,代数插值：插值函数P (x)为多项式函数,P (x) f (x),几何意义：,有理插值：插值函数P (x)为有理分式函数,三角插值：插值函数P (x)为三角函数,按照所选取的差值函数的类型，可将插值分为,二、插值多项式的存在唯一性,设插值多项式为,代入插值条件：,要证插值多项式存在唯一，只要证上述n+1元线性方程组的解存在唯一。由于系数行列式,是范德蒙行列式,定理3-1：满足插值条件(1)的不超过 n
3、 次的插值多项式是唯一存在的.,因此方程组存在唯一解。从而有下述定理,注：由定理知，要得到 n 次的插值多项式，必须给定关于 函数 f (x) 的 n+1 个条件！,一、线性插值 (n = 1),第二节 拉格朗日插值,首先从低次的代数插值谈起 ,构造 ，使 满足,设,由第一节的知识可求出,或,其中,并称 是 的插值基函数，他们具有如下性质：,注意： 只与插值节点有关，而与函数值无关！,二、抛物插值 (n = 2),构造 ，,使 满足：,此时有三个插值节点 ，仿照前一情形，,这里 称为二次插值基函数，只与 有关，且满足：,由插值条件可求得,类似的，所要寻求的多项式 可以写成如下形式,三、拉格朗日
4、多项式,n = 1,可见 P1(x) 是过 ( x0 , y0 ) 和 ( x1, y1 ) 两点的直线。,与 有关，而与 无关,n 1,每个 li(x) 有 n 个根 x0 xi-1 、 xi+1 xn,拉格朗日多项式,节点,f,若记,例如 也是一个插值多项式，其中 可以是任意多项式。,（2）拉格朗日插值多项式结构对称，形式简单.,（3）误差估计,注： （1）若不将多项式次数限制为 n ，则插值多项式不唯一。,（4）当插值节点增加时，拉氏基函数需要重新计算， n 较大时，计算量非常大，故常用于理论分析。,测试: 给定 xi = i +1, i = 0, 1, 2, 3, 4, 5. 下面哪个
5、是 l2(x)的图像？,解：,n = 1,分别利用x0, x1 以及 x1, x2 计算,利用,这里,而,sin 50 = 0.7660444,外插 /* extrapolation */ 的实际误差 0.0101,利用,内插 /* interpolation */ 的实际误差 0.00596,高次插值通常优于低次插值,n = 2,sin 50 = 0.7660444,二次插值的实际误差 0.00061,但绝对不是次数越高就越好，嘿嘿,第二节 牛顿插值,一、差商,1 阶差商,2 阶差商,已知函数 f (x) 在 n+1 个互异节点 处的函数值 ，,称,(k+1)阶差商：,差商的值与节点 xi
6、的顺序无关！,即 f (x) 的 k 阶差商的差商称为 f (x) 的 k+1 阶差商。,此外补充定义， 为零阶差商。,三、差商性质,性质1,证明：,用数学归纳法,n = 1,n = 2,由数学归纳法知，结论成立。,性质3,此性质给出了 n 阶差商和 n 阶导数的关系。,性质2,由性质1即得。,三、牛顿插值,已知定义于区间 上的连续函数 在 个互异节点,n 次拉格朗日插值多项式可表示为：,处的函数值, ,Nn(x),Rn(x),牛顿插值多项式,由差商的定义,注： 由唯一性可知 Nn(x) Ln(x)， 只是算法不同，故其余项也相同，即, 计算牛顿插值多项式关键是计算差商,f x0, x1f x
7、1, x2 f xn1, xn,f x0, x1 , x2 f xn2, xn1, xn,f x0, , xn,xn+1 f (xn+1) f xn, xn+1 f xn1, xn, xn+1 f x1, , xn+1 f x0, , xn+1,（建立差商表）,例2：已知函数 的函数表：,写出4次牛顿插值多项式,解：,构造差商表,四、差分等距节点插值公式,当节点等距分布时:,称为在点 处的 阶向前差分,称为在点 处的 阶向后差分,称为在点 处的 阶中心差分,向前差分,向后差分,中心差分, 差分性质,性质1 差分与差商的关系,证明：,用数学归纳法,k =1,当 k = j+1,设 k = j 时
8、结论成立,即性质1对任意整数k成立,性质2 差分与导数的关系,证明：,且,性质3,数学归纳法（自己证）,性质4（补充）, 线性性质：, 若 f (x)是 m 次多项式，则 是 次多项式，而, 函数值可由差分值算出：, 等距节点的牛顿插值公式, 牛顿向前插值公式,当插值点 位于插值区间左端点 附近时,令,上述公式中用差分代替差商,称之为牛顿向前插值公式,插值余项, 牛顿向后插值公式,当插值点 位于插值区间右端点 附近时,令,将节点顺序倒置：,上述公式中用差分代替差商,称之为牛顿向后插值公式,注：一般当 x 靠近 x0 时用前插公式，靠近 xn 时用后插公式，故两种公式亦称为表初公式和表末公式。,插值余项,例4：已知函数 的函数表：,分别利用牛顿前插和后插公式计算 的近似值。,精确值0.4109628768,解：,构造差分表,牛顿前插公式,牛顿后插公式,精确值0.4109628768,
