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1、第三章 动力学方程的三种基本形式,东北大学理学院应用力学研究所李永强,第2页,第三章 动力学方程的三种基本形式,3.1 虚功形式的动力学方程动力学普遍方程 3.2 虚功率形式的动力学方程 3.3 高斯形式的动力学方程,第3页,3.1 虚功形式的动力学方程动力学普遍方程,本方程为虚功原理与达朗伯原理的结合质点系由n个质点组成，各质点的质量用mi (i=1,2,n)表示， 作用于第i个质点上的主动力、约束力用 、 表示，在任意瞬时，第i个质点的加速度为 。,在此质点上虚加一惯性力,对质点系 :,如果此质点系是理想约束,应用虚位移原理，则有,或,虚功形式的动力学方程，简称动力学普遍方程（达朗伯拉格朗
2、日方程）在具有理想约束的质点系中，在任意瞬时和位形上，作用于各质点上的主动力和虚加的惯性力在任一虚位移上所作的元功之和等于零。,由达朗伯原理可得：,第4页,3.1 虚功形式的动力学方程动力学普遍方程,动力学普通方程的投影形式：,如果统一编号,注意: 1. 对于非理想约束力可作为主动力处置 2. 方程中不出现约束反力,第5页,3.1 虚功形式的动力学方程动力学普遍方程,例3-1 已知：行星轮系，在平面内运动。三个轮均为均质圆盘，质量均为m1，半径为r，曲柄为均质杆，质量为m2，长为4r； 各轮在接触点只滚不滑。在轮心轴承O1、O2、O3处摩擦力矩均为M1。在曲柄上作用一常力偶矩M2。求：曲柄的角
3、加速度,解：,（1）运动分析取为广义坐标， ， 左正右负，,轮：,得：,轮：,所以,第6页,3.1 虚功形式的动力学方程动力学普遍方程,（2）受力分析M2为主动力矩M1各摩擦力矩，均按主动力矩处理轴承O1：M1 右转轴承O2： 为左转，O1O3也为左转，,M2 右转,轴承O3：,左转，故M13右转,左转,（3）加惯性力 左转， 左转，,曲柄O1O3：简化中心为O1,（作用在O1）,（作用在O1）,右转,由于,第7页,3.1 虚功形式的动力学方程动力学普遍方程,轮：简化中心O2 平面运动,轮：简化中心O3,（4）虚位移，虚功，虚功方程,给定虚位移，其方向与 即 方向相同,为计算虚功，可将系统上的
4、力集中到某几个刚体上，如集中到O1O3曲柄上。,第8页,3.1 虚功形式的动力学方程动力学普遍方程,集中后曲柄上的力为：常力偶矩M2，轮O1、O2、O3对它的摩擦力矩为M1、M2、M3,轮：,所以,杆O1O3：,轮：,第9页,3.2 虚功率形式的动力学方程,虚功率形式的动力学方程 用动量和冲量表示的动力学方程,第10页,3.2 虚功率形式的动力学方程,虚功率形式的动力学方程,条件：除3.1条件外，还增加条件：内有d个完整约束，g个非完整约束对于第i个质点,在此瞬时，相应的位形上给第i个质点虚速度 ，第i个质点的虚功率,对于系统可得：,如果此质点系是理想约束，则,第11页,3.2 虚功率形式的动
5、力学方程,虚功率形式的动力学方程,理想约束下质点系的虚功率方程为：,具有理想约束的质点系，在任意瞬时和位形上，作用于各质点上的主动力和虚加的惯性力在任一虚速度上所做的元功率之和等于零。,虚功率形式的动力学方程(若丹原理),上式中：,其在直角坐标中的投影形式为：,第12页,3.2 虚功率形式的动力学方程,虚功率形式的动力学方程,例3-2已知：常力矩M，均质圆轮C做纯滚动，质量为m，半径为R。绞车半径为r，质量为mO，回转半径。斜面倾角，绳质量、轴承摩擦不计求： aC,解：单自由度系统，取绞车转角为广义坐标 1）运动分析、虚速度分析,绞车,虚速度：,第13页,3.2 虚功率形式的动力学方程,虚功率
6、形式的动力学方程,2）受力分析 常力矩M，轮的重力mg，绞车重力mOg,3）惯性力分析,圆轮：,绞车：,4）建立虚功率方程,圆轮：,绞车：,虚功率方程：,第14页,3.2 虚功率形式的动力学方程,用动量和冲量表示的动力学方程,一般情形 定点转动 平面运动的情形,第15页,3.2 虚功率形式的动力学方程,用动量和冲量表示的动力学方程_,一般情形,对功率形式的动力学方程进行变化，由,将其括号部分提取出来，进行变换,其中,作用在第i个质点上的主动碰撞力的冲量,将 用 表示，则功率形式的动力学方程可变为,动量、冲量表述的动力学方程,其中：,碰撞结束时的速度 ;,碰撞开始时的速度,第16页,3.2 虚功
7、率形式的动力学方程,用动量和冲量表示的动力学方程_,一般情形,动量、冲量表述的动力学方程,说明：,1. 非碰撞力不计,2. 碰撞过程质点位移不计，但虚速度 为有限值,3. 约束方程：,其中,：很短，认为t凝固，位移的变化不计，故 为常量,第17页,3.2 虚功率形式的动力学方程,用动量和冲量表示的动力学方程_,定点转动,某质点系绕固定点O转动，虚速度 与虚角速度 有如下关系,功率方程改写为,预备知识（混合积）,因为,所以,第18页,3.2 虚功率形式的动力学方程,用动量和冲量表示的动力学方程_,定点转动,同一般情况处理一样，可得：,则,动量矩、冲量矩表述的动力学方程（对固定点O）,其中： 为碰
8、撞后第i个质点对定点O的动量矩， 为碰撞前第i个质点对定点O的动量矩,如果质点系是相对于其质心C的转动，同样可得其动力学方程为:, 的意义同前； 意义同前。,第19页,3.2 虚功率形式的动力学方程,用动量和冲量表示的动力学方程_,定点转动,如果质点系是绕定轴转动的刚体系或绕通过各自质心某轴转动的刚体，动力学方程可变成：,绕定轴转动刚体的动量矩、冲量矩的动力学方程,绕过质心轴转动刚体的动量矩、冲量矩的动力学方程,其中：,Jz, JCz为第i个刚体绕z轴或绕过质心的 z 轴的转动惯量；i为第i个刚体碰后绕轴转动的角速度；i为第i个刚体碰前绕轴转动的角速度。,第20页,3.2 虚功率形式的动力学方
9、程,用动量和冲量表示的动力学方程_,平面运动的情形,设某刚体系作平面运动，可将,分成两部分来化简，即一部分为刚体随各自的质心Ci的平动，另一部分为各刚体相对其质心Ci的转动，其结果为,平面运动刚体的动量矩、冲量矩的动力学方程,第21页,3.2 虚功率形式的动力学方程,解：1 选广义坐标：xC, yC, 2 应用恢复系数计算方块A碰撞后的速度碰前 ：,碰后：,由恢复系数公式,第22页,3.2 虚功率形式的动力学方程,3 运动分析分析质心C的速度 及绕C转动的角速度碰前（正方块作平行移动）：vCx = 0，vCy = -v1， =0碰后（正方块作平面运动）：uCx, uCy, 以质心C为基点，计算
10、角A的速度:,则,其中,代入由恢复系数得到的：uAx = 0，vAy = v1,则,可得：,对做一阶等时变分，得虚角速度及质心C的虚速度,第23页,3.2 虚功率形式的动力学方程,4 受力分析 碰撞冲量仅为,5 建立碰撞过程的动力学方程 碰撞过程为平面运动，虚位移是极小的，但虚速度为有限的，故只能用 平面运动时的动量、动量矩、冲量、冲量矩方程的动力学方程求解,将 ， ， ， ， ， ， 及 代入，得,第24页,3.2 虚功率形式的动力学方程,即,由,则,第25页,3.3 高斯形式的动力学方程,虚加速度 高斯形式的动力学方程,第26页,3.3 高斯形式的动力学方程,虚加速度,加速度的约束方程 实
11、加速度(用 和 表示) 可能加速度(用 和 表示) 虚加速度（用 表示）,第27页,3.3 高斯形式的动力学方程,虚加速度_,加速度的约束方程,质点系由n个质点组成，内有d个完整约束，g个非完整约束，其线性一阶约束方程的矢量形式和坐标分解形式为：,坐标分解形式可写为:,(a),式中,对上式等号两侧同时除以dt，得,(b),第28页,3.3 高斯形式的动力学方程,虚加速度_,加速度的约束方程,式 (a) 、(b)表明：约束方程不仅限制各质点在给定瞬时和位形上的微小位移和速度，而且对各质点的即速度也有相应的限制。为了了解对于加速度的具体限制形式，将式(b)对时间求一阶全导数,即,上式为质点系的加速
12、度约束方程。,(a),(b),第29页,3.3 高斯形式的动力学方程,虚加速度_,实加速度(用 和 表示),质点系在真实的运动中，在给定的瞬时和位形上，各质点的加速度称为实加速度，用 和 表示。 实加速度既要满足此质点系的运动微分方程和运动的初始条件，又要满足此质点系的加速度约束方程，其加速度组成为唯一的。,第30页,3.3 高斯形式的动力学方程,虚加速度_,可能加速度(用 和 表示),质点系在可能的运动中，在给定的瞬时和位形上，各质点的加速度称为可能加速度，用 和 表示。 可能加速度要满足此质点系的加速度的约束方程，即,由于约束方程的数目恒少于加速度分量的数目（3nd+g），因此该质点系的可
13、能加速度有很多组。,第31页,3.3 高斯形式的动力学方程,虚加速度_,虚加速度（用 表示）,从同一瞬时，同一状态（包括位形和速度）出发，给出质点系相邻任意两组可能加速度 、 。,、 应满足的约束方程为:,由于上面式子中，二者的时间、各质点的位置和速度均相同，他们对应项的系数相同，于是二式之差为,或,虚加速度的约束方程,其中 称为此质点系第r个坐标所对应的虚加速度分量（r =1,2,3n）。,第32页,3.3 高斯形式的动力学方程,虚加速度_,虚加速度（用 表示）,如果 是第r个质点的虚加速度 在x坐标上的分量（r =1,2,3n），则有,以上诸式中“”代表有限变更，表明虚加速度可以是有限量。
14、虚加速度的比较完整的定义： 在同一瞬时，质点系中的各质点从同一状态出发的可能加速度的变更，称为该质点系的虚加速度，又称为高斯变更。虚加速度 的约束方程也可以变成虚速度约束方程相类似的形式：,第33页,3.3 高斯形式的动力学方程,虚加速度_,虚加速度（用 表示）,虚加速度性质,1）质点系各质点的虚加速度 是非时间参量引起的，可以视为质点系在给定的瞬时和位形上，将时间和约束“凝固”后，各质点保持原有的位置和速度（即状态）时，各质点为约束所允许的加速度；2）比较下式:,可以看出，在一般情况下，质点系各质点的虚加速度不能视为可能发生却尚未发生的可能加速度；仅当可能速度 ，且 时，即定常约束时，两者一
15、致。,第34页,3.3 高斯形式的动力学方程,虚加速度_,虚加速度（用 表示）,3）质点的虚加速度是此质点相对于被“凝固”的约束曲面的切向加速度的变更。即与虚速度、虚位移一样，虚加速度位于被凝固的约束曲面在此质点所在位置的切平面内，如果“凝固”约束曲面在质点所在的位置处的单位法线矢量用 表示，应有：,因为时间凝固，约束自然凝固，质点不在有牵连运动（约束不动），不在有相对运动（如有即为绝对运动），牵连加速度，科氏加速度为零，相对的法向加速度为零或不变。,第35页,3.3 高斯形式的动力学方程,高斯形式的动力学方程,假设某质点系由n个质点组成，内有d个完整约束、g个非完整约束，按推导虚功率形式的动力学方程的方法，可以得到：,由于质点系各质点的虚加速度与被“凝固”约束曲面的法向垂直（在切平面内），即各质点的虚加速度 是垂直于各自质点所受的约束力 ，于是,又因为,则,上式即为高斯形式的动力学方程。,第36页,3.3 高斯形式的动力学方程,高斯形式的动力学方程,由下面三式,虚功形式的动力学方程,虚功率形式的动力学方程,高斯形式的动力学方程,可以看出，在一阶线性约束的情况下，动力学方程的三种基本形式除了元素符号的区别以外，是完全一致的。 高斯形式的动力学方程的明显优点是可以用它推导出高斯原理和阿沛尔方程。,
