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1、Prof. Lanhe WuShijiazhuang Tiedao Univ.,Dynamics of Structures,第四章 连续系统的振动,具有连续分布的质量和弹簧系统称作连续系统或分布质量系统。连续系统具有无限多个自由度，其动力学方程为偏微分方程，只对一些简单情形才能求得精确解。对于复杂的连续系统则必须利用各种近似方法简化为离散系统求解。,本章先讨论以杆的纵向振动为代表的一类振动以及梁的横向振动，以掌握连续系统振动的一般规律，然后介绍工程中常用的几种近似方法，包括集中质量法、假设模态法、模态综合法和有限元法。本章材料均为理想线弹性体，即材料为均匀的和各向同性的，且在弹性范围内服从胡
2、克定律, 4.1 一维波动方程,基本假设:,考虑图示均质直杆,1.所有连续体均为线性弹性体,2.材料均匀连续且各向同性,3.体系的振动变形都是微小变形,一.动力学方程,1.杆的纵向振动,设,弹性模量为,横截面积为,材料密度为,杆件长度为,假定振动过程中各截面保持平面，并忽略因纵向振动引起的横向变形,考虑微段的平衡,一维波动方程,而,将上式代入动力平衡方程整理得,波速,2.弦的横向振动,设弦单位长度的质量为,单位长度弦上横向的干扰力,振动过程中弦的张力不变,设横向挠度,对图示微元体，列出,自由振动时,上式化为,一维波动方程,波速,3.轴的扭转振动,设截面的二次极矩为,材料的密度为,剪切模量,建立
3、图示的坐标系,扭转角,该截面处的扭矩为,对右图示的微元体，列出,自由振动时,化为一维波动方程,一维波动方程,波速,4.杆的剪切振动,材料的密度为,剪切模量,建立图示的坐标系,对右图示的微元体，列出,当杆的长度接近截面尺寸时，杆的横向振动主要引起剪切变形,假设振动过程中杆的横截面始终保持平行，称作杆的剪切振动,截面形状系数,一维波动方程,波速,整理得,二.固有频率和模态函数,以上四种物理背景不同的振动都归结为同一数学模型，即一维波动方程。以杆的纵向振动为代表，讨论此数学模型，所得结果也完全适用于其它振动问题。,现来求解一维波动方程,利用分离变量法，令,这个假设的实质是:假设杆上各点作同步运动,代
4、入波动方程得,杆上距原点x处的截面纵向振动的振幅,各截面振动随时间的变化规律,等式两边是互相无关的函数，因些只能等于常数,记,上式可化为如下两个常微分方程,思考:为什么这个常数为非正数?,通解:,振动形态(模态),与有限自由度系统不同，连续系统的模态为坐标的连续函数，即模态函数。由于是表示各坐标振幅的相对比值，模态函数内可以包含一个任意常数,由频率方程确定的固有频率有无穷多个,一一对应,第i阶主振动,系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加,以下讨论几种常见边界条件下的固有频率和模态函数,1.两端固定,边界条件为,因,可得,和,因为,故须有,频率方程,无穷多个固有频率,模态函数,由于模态表示的是各
5、振幅比值,故可令这个常数等于1,2.两端自由,边界条件为,因,可得,和,因为,故须有,频率方程,无穷多个固有频率,模态函数,亦可令这个常数为1,有,3.一端固定另一端自由,边界条件为,因,可得,和,因为,故须有,频率方程,无穷多个固有频率,模态函数,亦可令这个常数为1,有,例:,解:,设杆的一端固定，另一端自由且有附加质量,如图所示,试求杆纵向振动的固有频率和模态,边界条件写作,将边界条件代入,化作,其中,梁的总质量,相应的模态函数为,因为数学模型相同，以上在各种边界条件下导出的固有频率和模态函数也完全适用于弦的横向振动、杆的扭转振动和梁的剪切振动。关于这类系统的受迫振动本节不作讨论，因为与下
6、节梁的弯曲受迫振动的分析和计算方法基本相同, 4.2 Euler-Bernoulli梁的弯曲自由振动,一.动力学方程,考虑细直梁的弯曲振动,忽略梁的剪切变形和截面绕中性轴转动对弯曲的影响,Euler-Bernoulli梁,设梁的长度为,密度为,截面积为,弹性模量为,截面二次矩,单位长度梁上的横向外力,单位长度梁上的外力矩,取一微段,其受力图如右图,即,再列出微元体力矩方向的平衡方程,略去高阶微量得到,将该式代入前面的式子得到,由材料力学知,代入,整理得,动力学方程,若为等截面梁,则可化为,若梁上无分布力矩,则化为,此方程含有对坐标的四阶导数和对时间的二阶导数,故求解时必须考虑四个边界条件和两个
7、初始条件,二.固有频率和模态函数,考虑梁的自由振动,此时梁上无荷载,动力学方程为,仍采用分离变量法，令,代入动力学方程,整理得到,该式两边分别为时间和坐标的孤立函数,两者互相无关,故只能等于常数,记为,导出两个常微分方程,第一个方程的解为,第二个方程为变系数微分方程,一般情况下得不到解析解,考虑特殊情况,高梁为等截面梁,则第二个方程化为,令,该方程的解可以确定梁的模态函数和固有频率,设解的一般形式为,代入控制方程，导出本征方程,本征根为,对应于4个线性独立的特解,因为,亦可将,作为基本解,于是原方程的通解为,可解出无穷多个固有频率及模态函数,构成系统的主振动,系统的自由振动是无穷多个主振动的线
8、性叠加,常见的约束状况与边界条件有以下几种：,固定端,即,简支端,即,自由端,即,以下若无特殊说明,均假设梁为等截面梁,例:,解:,求两端简支梁的固有频率和模态,已知梁的边界条件为,代入,得,由前二式可解得,代入后二式有,因为,故由式,可解得,于是得频率方程,及,而,解得,得固有频率,得相应的模态函数,由于模态表示各点振幅之间的比值,故可取,得模态函数,其前几阶模态的形状如下,第一阶模态,第二阶模态,第三阶模态,第四阶模态,没有节点,一个节点,二个节点,三个节点,例:,解:,求悬臂梁的固有频率和模态,已知梁的边界条件为,代入,得,以及,展开化简后，得到频率方程,该方程为超越方程,不能求得精确解
9、,可用作图法或者数值法求得其近似解,对应的各阶频率为,相应的各阶模态函数为,其中,其前三阶模态图如下,第一阶模态,第二阶模态,第三阶模态,例:,解:,求两端自由梁的固有频率和模态函数,已知梁的边界条件为,利用前面相同的步骤可以导出频率方程,解得,相应的各阶模态函数为,其中,例:,解:,图示悬臂梁的自由端有弹性支承,试列出其频率方程,固定端的边界条件化为,梁右端的边界条件为:梁端的剪力和弯矩分别等于直线弹簧的反力和卷簧的反力矩,即:,化为,由固定端条件解得,由弹性支承端条件并考虑上式得,导出频率方程,或,则退化为悬臂梁的频率方程,例:,解:,固定端的边界条件为,悬臂梁的自由端有附加质量 ,试列出
10、其频率方程,自由端应有,化为,利用与上例相同的方法可提频率方程,其中,说明:,上述分析没有考虑梁的剪切变形和梁截面的转动惯性,因而只适用于细长梁,若不满足此条件,宜用Timoshenko梁模型,剪切变形和梁截面的转动惯性都会使梁的固有频率减小,三. 模态函数的正交性,讨论细长梁，不限于等截面情形,设,它们必满足,左边利用分部积分有,对于梁的简单边界条件,其挠度和剪力中必有一个为零,转角和弯矩中也必有一个为零,因而上式中的前两项必定等于零,故有,代入(3)式得,(4)式减去(5)式得,如果,则,再代回(4)式得,主振型关于质量的正交性,主振型关于刚度的正交性,四.主质量和主刚度,以上主振型的正交
11、性条件要求,定义,第i阶主质量,第i阶主刚度,由式,知,与多自由度系统类似，也可以实现模态函数的简正化,记,若采用简正模态函数,则必有,简正模态函数,模态的正交条件可写为,为克罗内克符号,当梁的端部为简支、固定或自由以外的其它复杂情形时，则以上对正交性条件的推导和结论应作相应的改变。,对于一维波动方程描述的杆的纵向振动或轴的扭转振动等情形，也可以导出类似的正交性条件。,注:, 4.3 Euler-Bernoulli梁的受迫振动,根据模态函数的正交性，可将多自由度系统的模态叠加法思想应用于连续系统。即将弹性体的振动表示为各阶模态的线性组合，用于计算系统在激励作用下的响应问题,梁的动力学方程为,设
12、,代入动力方程得,简写为,利用模态的正交性,得到无穷多个完全解耦的方程,其中,第i个正则坐标方程,第i个广义力,设梁的初始条件为,将此初始位移亦看作是各阶模态的叠加,此二式即为广义坐标的初始条件,系统广义坐标的响应为初始条件确定的自由振动和激励力产生的响应的叠加。由杜哈梅积分公式及单自由度结构自由振动的解得到,原来系统物理坐标的的响应为,如果作用的梁上的不是分布力和分布力矩，而是集中力和集中力矩，如图所示,作用力可表示为,广义作用力为,例:,解:,设等截面简支梁受到初始位移,的激励，求梁的响应,我们已知该梁的模态函数为,计算其主质量,其简正模态为,其中,为梁的质量,梁的固有频率为,由于梁没有初
13、速度，也没有干扰力，而只有初位移,广义坐标的初位移为,广义坐标的响应为,系统物理坐标的响应为,例:,解:,设等截面简支梁上通过一辆以速度 匀速驶过的车，若忽略车辆的惯性，可以看作集中力 匀速沿桥梁移动,设梁上桥瞬时,梁的初位移和初速度皆为零,求梁的响应,集中力荷载用脉冲函数表示为,简支梁的固有频率和简正模态函数为,求出与广义坐标相对应的广义力,将广义力和零初始条件代入杜哈梅积分,梁的响应为,其中括号内第一项为车辆载荷激起的受迫振动，第二项为伴生自由振动,这时梁的振幅将随时间增长，直到车辆离开桥梁,梁作自由振动,其振动的响应可参考上例求得,此处略去,例:,图示等截面简支梁,中点处受集中力偶,求梁
14、的响应,解:,简支梁的固有频率和简正模态函数为,力偶荷载用脉冲函数表示为,广义坐标的动力学方程为,其稳态响应为,因此有,广义力, 4.4 Timoshenko梁的弯曲自由振动,一.动力学方程,考虑细直梁的弯曲振动,考虑梁的剪切变形和截面绕中性轴转动对弯曲的影响,设梁的长度为,密度为,截面积为,弹性模量为,截面二次矩,单位长度梁上的横向外力,单位长度梁上的外力矩,梁上某一微段变形情况,其中,梁轴线与水平轴的夹角,剪切角,梁截面与竖直轴的夹角,很明显有,该微段的受力图如右图,竖向投影的动力学平衡方程,即,再列出微元体力矩方向的平衡方程,略去高阶微量得到,这样得到两个动力平衡方程,由材料力学知,代入前面的式子得到,由第一式中解出,前面式中的第二式求导一次，再将上式代入，得到,自由振动时,设该方程的特解为,代入动力方程得,对任意边界条件，该式很求解，但对简支梁则容易求解。剪切和转动惯性对等截面简支梁的振动形式没有影响 ，故其振型可假设为,代入上式整理后得,上式中最后一项相对第一项来说是小量，略去,解得,可见，剪切变形和转动惯性都会使固有频率有所降低,
