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1、第三章 应力分析、应变分析和屈服条件,3.1 应变张量和应力张量3.2 应变张量和应力张量的不变量3.3 偏应变张量和偏应力张量3.4 屈服条件3.5 几个常用的屈服条件3.6 屈服条件的试验验证,3.1 应变张量和应力张量,一、应力张量及其分解,(1) 一点的应力状态,通过一点P 的各个面上应力状况的集合, 称为一点的应力状态,x面的应力：,y面的应力：,z面的应力：,(2) 应力张量,一点 的应力状态可由九个应力分量来描述，这些分量构成一个二阶对称张量，称为应力张量。,上式中左边是工程力学的习惯写法，右边是弹性力学的习惯写法,定义：,写法：,采用张量下标记号的应力写法,把坐标轴x、y、z分
2、别用x1、x2、x3表示，或简记为xj (j=1,2,3),(3) 斜截面上的应力与应力张量的关系,在xj坐标系中，考虑一个法线为N的斜平面。,N是单位向量，其方向作弦为,则这个面上的应力向量SN的三个分量与应力张量 之间的关系,采用张量下标记号，可简写成,说明：,i）重复出现的下标叫做求和下标，相当于 这称为求和约定；,ii）不重复出现的下标i叫做自由下标，可取i=1,2,3；,(4) 应力张量的分解,1.静水“压力”：,在静水压力作用下，应力应变间服从弹性规律，且不会屈服、不会产生塑性变形。,应力,不产生塑性变形的部分,产生塑性变形的部分,反映静水“压力”：,2.平均正应力：,3. 应力张
3、量的分解：,应力张量可作如下分解：,用张量符号表示：,其中：,或,应力球张量,单位球张量,应力球张量，它表示各方向承受相同拉（压）应力 而没有剪应力的状态。,应力偏张量,应力偏张量,与单元体的体积变形有关,说明：,材料进入塑性后，单元体的体积变形是弹性的，只与应力球张量有关；而与形状改变有关的塑性变形则是由应力偏张量引起的 。应力张量的这种分解在塑性力学中有重要意义。,3. 2 应变或应力张量的不变量,（1）主应力,1. 一点的主应力与应力主向,若某一斜面上 ，则该斜面上的正应力 称为该点一个主应力 ；,（2）应力主向,主应力 所在的平面 称为主平面；,主应力 所在平面的法线方向 称为应力主向
4、；,根据主平面的定义，SN与N重合。若SN的大小为 ，则它在各坐标轴上的投影为,代入（3-3）式,应有,或即,将这个行列式展开得到,其中,2. 应力张量的不变量,当坐标轴方向改变时,应力张量的分量 均将改变,但主应力的大小不应随坐标轴的选取而改变.因此,方程(3-9)的系数 的值与坐标轴的取向无关，称为应力张量的三个不变量。,可以证明方程（3-9）有三个实根，即三个主应力,当用主应力来表示不变量时,应力偏张量Sij显然也是一种应力状态即J1=0的应力状态。,不难证明，它的主轴方向与应力主轴方向一致，而主值（称为主偏应力）为：,一、 应力偏张量不变量：,3.3 偏应力应变张量及其不变量,其中应力
5、偏张量的第二不变量 今后用得最多。,再介绍它的其他几个表达式：,在第四章中将看到， 在屈服条件中起重要作用。至于 可以注意它有这样的特点：不管 的分量多么大，只要有一个主偏应力为零，就有 。这暗示 在屈服条件中不可能起决定作用。,说明：,二、 等斜面上的应力,等斜面：通过某点做平面 ，该平面的法线与三个应力主轴夹角相等,八面体面：满足（3-20）式的面共有八个，构成一个八面体，如图所示。,等斜面常也被叫做八面体面。,若八面体面上的应力向量用F8表示，则按（3-3）式有,设在这一点取 坐标轴与三个应力主轴一致，则等斜面法线的三个方向余弦为,八面体面素上的正应力为,八面体面素上的剪应力为,说明：,
6、八面体面上的应力向量可分解为两个分量：,i)垂直于八面体面的分量，即正应力 ，它与应力球张量有关，或者说与 有关；,ii)沿八面体面某一切向的分量，即剪应力 ，与应力偏张量的第二不变量 有关。,三、 等效应力,1.定义：,如果假定 相等的两个应力状态的力学效应相同，那么对一般应力状态可以定义：, 在塑性力学中称为应力强度或等效应力,注意：这里的“强度”或“等效”都是在 意义下衡量的,2.等效应力 的特点,与空间坐标轴的选取无关；,各正应力增加或减少同一数值（也就是叠加一个静水应力状态）时 数值不变，即与应力球张量无关；,全反号时 的数值不变。,3. 空间,空间指的是以 的九个分量为坐标轴的九维
7、偏应力空间；,标志着所考察的偏应力状态与材料未受力（或只受静水应力）状态的距离或差别的大小。,联系到（3-17）式，,不难看出 代表 空间的中的广义距离,4. 等效剪应力,联系到（3-19）式，可知,或,也可以定义 ,剪应力强度或等效剪应力:,5. 八面体剪应力、等效应力 和等效剪应力之间的换算关系为：,说明：,这些量的引入，使我们有可能把复杂应力状态化作“等效”（在 意义下等效）的单向应力状态，从而有可能对不同应力状态的“强度”作出定量的描述和比较。,四、三向Mohr圆和Lode应力参数,在 平面上 三点中的任意两点为直径端点，可作出三个Mohr圆，如图3-3.其半径为：,称为主剪应力,最大
8、剪应力,1.三向Mohr圆,2.Lode应力参数,分析,由图3-4可见，若在已知应力状态上叠加一个静水压力，其效果仅使三个 Mohr圆一起沿 轴平移一个距离，该距离等于所叠加的静水应力，并不改变Mohr圆的大小。,结论,轴的位置与屈服及塑性变形无关，决定屈服与塑性变形的只是Mohr圆本身的大小。,若将 轴平移到 ，并使,则：,移轴后的三向Mohr圆正是描述应力偏张量的三向Mohr圆，如图所示。,M点是P1P2线段的中点,Lode在1925年引进的参数,Lode应力参数,当P2点由P3移向P1时， 的变化范围是：,下面三个特殊情况是常用到的：,i)单向拉伸：ii)纯剪切：iii)单向压缩：,只由
9、P1、P2、P3三点的相对位置决定而与 坐标原点的选择无关，故 是描述应力偏张量的一个特征值。,综上所述，OO表示了一点应力状态的球张量部分；而以O为坐标原点的三向Mohr圆（由 和 所确定）则表示了应力的偏张量部分。,五、应力空间和主应力空间,1. 应力空间,一点的应力张量有九个应力分量，以它们为九个坐标轴就得到假想的九维应力空间。,考虑到九个应力分量中只有六个是独立的，所以又可构成一个六维应力空间来描述应力状态。,一点的应力状态可以用九维或六维应力空间中的一个点来表示。,2.主 应力空间,（Haigh-Westergaard空间）,它是以 为坐标轴的假想的三维空间，这个空间中的一个点，就确
10、定了用主应力 所表示的一个应力状态。,2.主 应力空间的性质,L直线：主应力空间中过原点并坐标轴成等角的直线。,其方程为 显然，L直线上的点代表物体中承受静水应力的点的状态，这样的应力状态将不产生塑性变形。,平面：主应力空间中过原点而与L直线垂直的平面。,其方程为 由于 平面上任一点的平均正应力为零，所以 平面上的点对应于只有应力偏张量、不引起体积变形的应力状态。,主应力空间中任意一点P所确定的向量 总可以分解为：,这样任意应力状态就被分解为两部分，分别与应力球张量和应力偏张量部分对应。,小结,物体内一点的应力状态用应力张量描述，它又可分解为应力 球张量和应力偏张量两个部分。,塑性变形只与应力
11、偏张量有关。,三向Mohr应力圆和主应力空间为应力张量的分解提供了几何 形象和数学工具。,这样取 的目的是使 构成一个二阶对称张量， 即应变张量。,六、应变分析,1、位移与应变的关系,Cauchy公式,其中 与工程剪应变相差一半，即,张量记法:,以 记 ,以 记 。,记号约定：,以下标之间的逗号表示微商,如,Cauchy公式的张量形式：,（3-29）式是在小变形条件建立的。,2、应变张量的分解,应变张量也可以分解为应变球张量和应变偏张量，即,应变球张量,它与弹性的体积改变部分有关；,其中称 为平均正应变,应变偏张量,只反映变形中形状改变的那部分。,3、应变张量的不变量,应变偏张量的三个不变量用 表示 ：,其中 分别是主应变和应变偏张量的主值。,4、等效应变和Lode应变参数,等斜面（八面体面）上的正应变和剪应变：,等效应变 和等效剪应变,Lode应变参数,三个特殊情况为：,i)单向拉伸： 则 =-1.ii)纯剪切： 则 =0.iii)单向压缩： 则 =1.,在一般情况下 的变化范围是,5、应变率张量,应用小变形的Cauchy公式求得相应的应变：,应变率张量,这样定义的 ，不论 大小都成立，但要求是对每一瞬时状态进行计算，而不是按初始位置计算的,
