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1、,卡尔曼滤波算法,卡尔曼滤波算法是卡尔曼等人在20世纪60年代提出的一种递推滤波算法。它的实质是以最小均方误差为估计的最佳准则，来寻求一套递推估计的算法。其基本思想是：采用信号与噪声的状态空间模型，利用前一时刻地估计值和现时刻的观测值来更新对状态变量的估计，求出现时刻的估计值。它的广泛应用已经超过30年，包括机器人导航，控制，传感器数据融合甚至军事方面的雷达系统以及导弹追踪等等。,Kalman,一、一维时变随机信号的数学模型,对每一确定的取样时刻k，x（k）是一个随机变量。当取样时刻的时标k变化时，就得到一个离散的随机序列x（k）。 假设待估随机信号的数学模型是一个由白噪声序列 W（k）驱动的
2、一阶自递归过程，其动态方程为：,式中：参数a1,（1）,二、信号测量过程的数学模型,信号测量过程的数学模型：,式中： x(k)为k时刻的信号值。 y(k)为该时刻对 x(k)进行测量所得到的信号测量样值。 v(k)为此时在测量过程中所引入的独立的附加噪声 。,（2）,所以，可以得到一维时变随机信号及其测量过程的数学模型。,三、标量卡尔曼滤波器设计,一维随机信号的递归型估计器的一般表达式：,在信号、测量过程的数学模型为条件下 以均方估计误差最小为准则对估计器的加权系数a(k)和b(k)进行最优化，并推导出标量卡尔曼滤波器的最优估计的递推算法。,递归型估计器在k时刻对信号的估计误差为,均方估计误差
3、为,（3）,（4）,（5）,代入递归型估计器的一般表达式 得：,令P(k)对a（k）和b（k）的偏导数为零，得,（6）,（7）,（8）,解出的a（k）和b（k）将保证该递归型估计器的均方估计误差为最小。,由（7）和（8）式得,根据,（9）,（10）,由（7）式可得,（11）,经过一系列的代换可求出,（12）,此式为经过最优化得到的 a（k）,表达式,左式,右式,最优递归型估计器对信号,的均方估计误差可写成,（13）,由9和10两式化简后得：,（14）,由量测方程 可得：,代入式14中,（15）,最优递归型估计器对信号的均方估计误差还可写成,（16）,利用 式12，将a(k)替换,（17）,交叉
4、乘积项的均值都为零,（18）,整理后求解得,此式即经过最优化所得到的,的表达式。,（19）,当增益,和,经过最优化，即分别有（12）式和（19）式给出时,就是一个最优递归型估计器，其均方估计误差最小。,（20）,20式物理意义的说明：在尚未获得k时刻的新测量样值y（k）以前，我们只能从(k-1)时刻对信号所作出的估计 出发 ,由于信号数学模型中的动态噪声的确切数值w(k-1)无从得知，故对x(k)的预估值只能取作,当我们测得k时刻的新测量样值y(k)后，若所测得的y(k)值与其预估值 之差不为零，就说明k时刻的新测量样值y(k)中包含有前（k-1）次测量中所没有的新信息。 反之，新测量样值中不
5、包含任何新信息。,显然，当我们测得k时刻的新测量样值y(k)之后，可利用第k次测量中的新信息 乘上一个比例系数b(k)作为修正项，对未测得y(k)前对信号给出的预估值进行修正 。,卡尔曼滤波的基本算法是预估加修正 ，公式15、19、20构成了标量卡尔曼滤波器在信号及其测量过程的数学模型。,为了便于将标量卡尔曼滤波器的递推算法直接推广到向量随机信号（即多维随机信号）的卡尔曼滤波中去，给出如下的一套完整的递推算法：,滤波估计方程,滤波增益方程,代入式18, 得均方滤波误差方程,式中：,四、向量卡尔曼滤波,对向量卡尔曼滤波来说，标量情况下的滤波误差e(k)此时将变成一个滤波误差向量,标量情况下的均方滤波误差，此时将变成一个滤波误差的协方差矩阵,考虑到向量卡尔曼滤波器与标量卡尔曼滤波器无论条件上（即信号及其测量过程的数学模型）还是在要求上（即“最优”的含义）都完全相似，因而，可以直接把标量卡尔曼滤波的递推公式推广到向量情况。,滤波估计方程：,滤波增益方程：,滤波协方差方程：,Thank you！,
