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1、重要平面曲线,(1) 三次抛物线,(3) 概率曲线,(5) 蔓叶线,(7) 星形线,(9) 心形线,(11) 对数螺线,(13) 伯努利双纽线,(15) 四叶玫瑰线,(2) 半立方抛物线,(4) 箕舌线,(6) 笛卡儿叶形线,(8) 摆线,(12) 阿基米德螺线,(10) 双曲螺线,(14) 三叶玫瑰线,三次抛物线,拐点: (0, 0),关于原点对称,尖点: (0, 0),在尖点处与 x 轴相切,关于 x 轴对称,半立方抛物线,概率曲线,拐点:,拐点处切线斜率:,渐近线:,与 x 轴之间的面积:,关于 y 轴对称,设 服从标准正态分布 ,则其概率密度函数为,拐点:,与 x 轴之间的面积: 1,
2、箕舌线,或,点击图中任意点动画开始或暂停,渐近线: y = 0,曲线与渐近线之间的面积:,M是直径为a 的圆上的动点,Q是射线OM与 y = a 的交点,QPx 轴 ,MPx 轴,P点轨迹即为箕舌线 .,轨迹 :,蔓叶线,或,M 是半径为 a 的母圆上的动点 ,满足 OM = PQ 之点 P 的轨迹即为,渐近线:,曲线与渐近线之间的面积:,点击图片任意处播放开始或暂停,轨迹:,蔓叶线,笛卡儿叶形线,参数的几何意义:,图形在第四象限,图形在第二象限,图形在第一象限,动画走向: 1 1+,点击图中任意点动画开始或暂停,笛卡儿叶形线(续),结点:,在该点与 x 轴 y 轴相切,曲率半径为,顶点:,渐
3、近线:,圈套所围面积:,曲线与渐近线之间的面积:,或,星形线(内摆线的一种),弧 长 :,所围面积 :,轨迹 :,半径为,半径为 a 的定圆滚动时,其上,定点 M 的轨迹即为星形线,的动圆圆周沿,点击图片任意处播放开始或暂停,摆线,点击图中任意点动画开始或暂停,半径为 a 的圆周沿直线,无滑动地滚动时 ,其上,定点 M 的轨迹即为摆线 .,轨迹:,摆线(续),周 期:,极大点:,曲率半径:,一拱长:,一拱面积:,渐屈线:,仍为摆线,与原摆线一致,心形线,或,尖点: (0, 0),面积:,弧长:,轨迹: 外摆线的一种,点击图中任意点动画开始或暂停,动圆直径 = 定圆直径 = a,心形线的另一种形
4、式,即,尖点: (0, 0),面积:,弧长:,点击图中任意点动画开始或暂停,外摆线 (圆外旋轮线) 族,定圆圆心为 (0,0), 半径为 a, 动圆半径为 b,m = 1为心形线,点击图中任意点动画开始或暂停,阿基米德螺线,物理意义:,动点 M 以常速 v 沿一射线运动,该射线又,以定速 绕极点转动时,点M 的轨迹即为,阿基米德螺线,阿基米德螺线(续),等距性:,过极点的射线与曲线,弧 长 :,曲率半径 :,扇形,它们之间的间隔都是,对数螺线,的交角 都相等:,(等角螺线),等比性:,过极点的射线与曲线交于,各线段,成等比级数,公比为,弧长 :,曲率半径 :,曲线与所有过极点的射线,动画走向为
5、,等角性 :,点击图中任意点动画开始或暂停,双曲螺线,渐近点 :,极点 O,渐近线 :,曲率半径 :,扇形,曲线由两支组成 ,它们关于 y 轴对称,动画走向为,点击图中任意点动画开始或暂停,伯努利双纽线,或,点击图中任意点动画开始或暂停,结点(同拐点) :,在该点的切线斜率为1,顶 点:,极值点:,曲率半径:,双纽面积:,极 值 :,对应点:,伯努利双纽线的轨迹特点,双纽线上的点 M 满足 :,以,为圆心 ,为半径作圆,自O 作射线交圆于P, Q,则双纽线右支上的点满足 :,由对称性 , 左支也有类似结果,伯努利双纽线的另一形式,结点(同拐点) :,在该点的切线为 x , y 轴,顶点:,极值点:,曲率半径:,双纽面积:,极 值 :,即,对应点:,点击图中任意点动画开始或暂停,三叶玫瑰线,点击图中任意点动画开始或暂停,四叶玫瑰线,点击图中任意点动画开始或暂停,
