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1、角的平分线的性质,新人教版,八年级 上册,(第1课时),要研究角的平分线的性质我们必须会画角的平分线,工人师傅常用如图所示的简易平分角的仪器来画角的平分线. 将A点放在角的顶点处,AB和AD沿角的两边放下,过AC画一条射线AE,AE即为BAD的平分线.,B,A,D,C,把简易平分角的仪器放在角的两边时,平分角的仪器两边相等,从几何作图角度怎么画?BC=DC,从几何作图角度怎么画?,B,A,D,C,角平分线的画法:,()分别以M,N为圆心大于MN一半的长为半径作弧两弧在AOB的内部交于C,(3)作射线OC,则射线OC即为所求,A,B,()以O为圆心,适当长为半径作弧,交OA于M,交OB于N,想一
2、想:为什么OC是角平分线呢?,已知:OM=ON,MC=NC.求证:OC平分AOB.,证明:连接CM,CN 在OMC和ONC中, OM=ON, MC=NC, OC=OC, OMCONC (SSS) MOC=NOC 即:OC平分AOB,A,B,猜想:角平分线上的点到角的两边的距离相等,题设:一个点在一个角的平分线上,结论:它到角的两边的距离相等,已知:OC是AOB的平分线,点P在OC上,PD OA ,PE OB,垂足分别是D、E.求证:PD=PE.,判断正误,并说明理由:(1)如图1,P在射线OC上,PEOA,PFOB,则PE=PF.(2)如图2,P是AOB的平分线OC上的一点,E、F分别在OA、
3、OB上,则PE=PF.,图1,(3)如图3,在AOB的平分线OC上任取一点P,若P到OA的距离为3cm,则P到OB的距离边为3cm.,4.实践与应用,例题讲解例1 如图,在ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DEAB,DFAC,垂足分别是E,F.求证:EB=FC.,A,F,C,D,B,E,变题1:如图,ABC中,AD是BAC的平分线, C90, DEAB于E,F 在AC上,且BD=DF,求证:CF=EB.,变题2:如图,ABC中, AD是BAC的平分线, C90,DEAB于E,BC=8,BD=5,求DE.,例2 已知:如图,ABC的角平分线BM、CN相交于点P.求证:点P到三边AB、B
4、C、CA的距离相等.,证明:过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA,垂足为D、E、F BM是ABC的角平分线,点P在BM上 PD=PE(在角平分线上的点到角的两边的距离相等) 同理 PE=PF. PD=PE=PF. 即点P到边AB、BC、CA的距离相等,D,E,F,(1)用三角尺可按下面方法画角平分线:在已知的AOB的两边上,分别取OMON,再分别过点M,N作OA,OB的垂线,交点为P,画射线OP,则OP平分AOB,为什么?(2)ABC中,AD是它的角平分线,且BDCD,DEAB,DF AC,垂足分别为E,F.求证:EBFC.(3)如图,CD AB,BE AC,垂足分别为DE,BE,CD相交于点O,OBOC.求证:1 2,(4)如图,AD是ABC的角平分线,DEAB,DFAC,垂足分别是E,F,连接EF.EF与AD交于G.AD与EF垂直吗?证明你的结论.,