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1、有限差分方法离散方程及性能分析主讲：董玉萍,1 基本概念,在实际问题中，我们所关心的是因变量在空间若干特定位置的数值。 将因变量在给定点的数值直接作为未知数系数，并求解这些数值，作为满足实际需要的解。,离散方法比较,有限差分的概念,在采用数值计算方法求解偏微分方程时，若将每一处导数由有限差分近似公式替代，从而把求解偏微分方程的问题转换成求解代数方程的问题，即所谓的有限差分法。有限差分法求解偏微分方程的步骤如下： （1）区域离散化 （2）近似替代 （3）逼近求解,2 差分的基本形式及精度,用差商代替微分方程中的导数。以空间导数 为例，微分中心为（n,j）向前差分向后差分中心差分,上述几种差分形式
2、可通过Taylor级数展开的方法，得到前差分和后差分具有一阶精度; 中心差分具有二阶精度。,3 显式差分与隐式差分,显式格式,以时间步差空间中心差对上式离散,则,因为nt时刻的值为已知，可用上式直接计算n+1时刻的值。,扩散方程,隐式格式,以时间步差空间在（n+1）层中心差时对扩散方程离散。,未知函数不可能通过上式由已知值直接求解，它必须求解线性方程组才能求出。此为隐式格式。,4 有限差分格式的相容性、收敛性及稳定性,概念：从偏微分方程建立差分方程时，总是要求0，h 0时差分方程与微分方 程充分接近。 作用：研究差分方程与微分方程的关系。 分类：有条件相容和无条件相容,有限差分格式的相容性,以
3、扩散方程为例：,当时间步差空间中心差得差分方程为,若以Taylor级数展开扩散方得：,类似于导数的差分形式的截断误差，扩散方程的差分形式的截断误差为o(t,x2)。 如果 x，t 0时，截断误差o(t, x2)0，则称差分方程与原微分方程是相的。 当x，t 以任何形式0时， o(t, x2) 0，则称无条件相容。 当x，t 以某种方式0时， o(t, x2) 0，则称有条件相容。,有限差分格式的收敛性,概念：指差分方程的解，当x，t 0时是否逼近原始微分方程的真解。 作用：研究差分方程的解是否逼近真解的问题。,有限差分格式的稳定性,概念：指差分方程在求解的过程中， 差分方程的解能否保持一致有界
4、。 作用：差分方程的稳定性是其收敛性的 充分必要条件，它具有实用价值。 分类：点稳定和步稳定。,为了理解稳定性的概念，下面介绍两种类型的不稳定。 对流扩散方程 用FTCS离散 在n时刻方程有一个稳定解 ，由于某种原因存在一个扰动，由该扰动带来解的误差 , 假定其为线性叠加 即 待人上式,则有,对流项 扩散项,其显式解：,将方程变形可得,为了便于讨论，将上述两项的影响分开来讨论 由图可见，1)由于j+1n0, jn0,则4j+1n0；由于jn0，所以，|j+1n|jn|,扩散项：,即j+1n趋向于校正负的扰动jn，同理可分析出j+1n+10，即j+1n+1正好校正正的扰动j+1n 。j+1n的幅
5、度小于jn ，扰动会趋向于消失，所以扩散过程有利于计算的稳定。 2)j+1n与t有关，与t成正比，若t很大，随着t增大， |j+1n|增大； 若|j+1n|jn|，则j+1n会形成振幅不断增大的振动型过冲，有可能不稳定，属于动态不稳定，可用减小t的办法来消除。,对流项： 假定对流速度u0，扰动是一个振荡型的。|jn|，则对j节点有 即 j+1n 与jn ， |j+1n|jn|。 从而扰动随时间不断的单调增大。结果是不稳定的。称为静态不稳定。,它不能依靠改变参数来消除，只有改变差分差分格式才能避免。 在实际计算中，这种初始误差的产生和分布常常是随机的，若处理不当，会造成计算不稳定。 如果方程中对
6、流项与扩散项同时存在时，两者的相互牵制对时间步长的限制条件，取决于对流项与扩散项的相对重要程度。,概念：法国数学家傅里叶发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示（选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的），后世称为傅里叶级数，是一种特殊的三角级数。公式如下： 其中kj:波数 =2/ kj 相角= kjj j：周期,傅里叶级数,设 ，上式可整理为,扩散方程为：,用FTCS离散扩散方程,用Von Neumann法对扩散方程 （FTCS）格式进行稳定分析,方程的解用傅里叶分量可写成 其中： kx为波数；为波长，=2/ kjx ，当 ， kx 0.所以kx = 0 代
7、表直线；定义相角= kxx , 是波数为kx的分量在时刻n的幅度函数。 将解的傅里叶分量带人差分方程,消去 得，,利用Euler公式：,定义 ，G为幅度因子 由上式可得 可见，G=G（），由于不同的值代表不同的分量，所以幅度因子对于不同的傅里叶分量有不同的值。根据Von Neumann法的定义，要使方程的解保持有界，对于所有的值都应该有 G 1 相当于,因为 定义域在（-1,1）要使定义域在上式成立，只有,d 1/2即为保持差分方程计算稳定的条件。 因为 ，较稳定条件也可写成,不存在0的情况。,d 1/2，-1 1-4d,用Von Neumann法对对流扩散方程的（FTCS）格式进行稳定分析,
8、对流扩散方程：,用FTCS离散,用Von Neumann进行稳定分析,消去 得,幅度因子,实部,虚部,可见G是一个复变量。当c 0时，即对流扩散方程化成纯扩散方程，这个幅度因子即转化成实幅度因子，与前述讨论的结果一致。 稳定条件可以从模G 来讨论,是,的函数，当,（-1,1）内,变化时，,的变化状态，进一步判别差分,的稳定性和稳定条件,为了研究G（）取得权值的条件，将对 求二阶导数，得,由数学分析可知，当 时，,取得极小值。,在边界上,如果在边界上满足稳定条件，则整个计算过程都是稳定的。,d,c,差分方程稳定的必要充分条件：这种方法对一维、二维的问题都适用。是一种普遍方法。,5 守恒性,物理概
9、念：如果对一个差分方程在定义域 的任一有限空间内作求和运算（相当于连续问题中对微分方程积分），所得的表达式满足该区域上物理量守恒的关系时，称差分格式具有守恒性。,在t时间间隔内流入与流出某一区域中的通量之差等于该时间间隔中该区域内的增量。,如何控制守恒性 从控制容积积分法建立差分方程的角度看，满足下列两个条件时差分格式具有守恒性： 1）控制方程守恒型的。 2）在同一界面上各物理量（及有关物性）及的一阶导数是连续的。 所谓连续，这里指的是从界面两侧的两个控制容积来写出的该界面的值是相等的。,6 迁移性,物理概念：如果对流项的某种差分格式仅能使扰动沿着流动方向传递，则这种格式称为具有迁移性。,7
10、误差,7.1误差的类型：1）截断误差 是指以差分代替导数时略去的部分，与函数性质及变量有关。严格来说，是差分方程的误差而不是解的误差。2）舍入误差 是指在差分方程的求解的过程中，特别是迭代求解时，由于计算机计算长度的限制而引起的。 舍入误差的计算较困难，必须用概率分析的方法来定量估计。,7.2误差的物理概念 从物理概念上理解，误差可分成阻尼误差、相位误差、混淆误差、传输误差四种。,1）阻尼误差是由于离散引入的隐含的人工粘性所造成的误差。,2）相位误差是由于离散的作用引起的。在有限差分计算中，不同的傅里叶分量有不同的对流流速，波长越大的分量对流流速越接近于正确的速度u，而波长较短的分量则以低于或
11、高于u的相速传送这样各个傅里叶分量间的相位关系产生畸变，造成解的相位误差。,3）混淆误差是由于傅里叶分量的相互作用，能量逆转重新补充到长波分量中，从而使长波分量产生畸变甚至引起计算的不稳定。,4）传输误差是由于不正确的对出流边界条件的额外要求引出的另一种类型的误差。,8 举例,将对流方程,用（FTCS）显示,差分离散，并分析其性能。,用（FTCS）离散,用Von Neumann法分析稳定性,幅度因子,幅度因子G为幅变量，分析G 的变化,为了得到较稳定的解Lax对上述格式做了改进,令,将其代入FTCS差分格式：,用Von Neumann法分析稳定性，略去项得,幅度因子,G仍为幅变量，分析G 的变化,改进后的FTCS格式就是稳定的，其稳定条件就是这样就把无条件不稳定格式变成了条件稳定格式。 进一步改进用三个节点的加权值来代替 值，即令,将 代入原FTCS格式，,用Von Neumann法分析稳定性，略去 项，得,幅度因子：,在前面讨论对流-扩散方程时，的到幅度因子,可见相当于d，同理可得。要使,即为进一步改进后的差,稳定条件。,分格式,相当于在对流方程中加上了扩散项，就把无条件不稳定格式转化为稳定格式，这种人为的处理虽然带来了误差，但总比无解强，对于在流动中对流占优的流动，是可以这样处理的。,
