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1、1,例2 已知某简谐振动的振动曲线如图所示，试写出该振动的位移与时间的关系。,解 由图知 A = 4.0102 m,当t =0 时，,解得,又由曲线知 当 t =1s 时,x =0,代入上式得,m,2,即,简谐振动的表达式为,四、简谐振动的能量,以弹簧振子为例,x = A cos ( t+),v = A sin ( t+),由上两式可见，弹簧振子的动能和势能都随时间作周期性变化。当位移最大时，速度为零，动能也为零，而势能达到最大值；当在平衡位置时，势能为零，而速度为最大值，所以动能也达到最大值。,3,总能量,因为,所以,尽管在振动中弹簧振子的动能和势能都在随时间作周期性变化, 但总能量是恒定不
2、变的，并与振幅的平方成正比。,由公式,得,此式表明，在平衡位置处，x = 0, 速度为最大；在最大位移处，x = A, 速度为零。,4,例3 长为l 的无弹性细线，一端固定在A点，另一端悬挂质量为m的物体。静止时，细线沿竖直方向，物体处于点O，是系统的平衡位置。若将物体移离平衡位置，与竖直方向夹一小角度，由静止释放, 物体就在平衡位置附近往返摆动, 称为单摆。证明单摆的振动是简谐振动，并分析其能量。,解 物体受 和 两个力作用,根据牛顿第二定律得,当偏角 很小时， sin ,所以,5,说明了在偏角很小时, 单摆的振动是简谐振动。,单摆系统的机械能包括两部分：,动能,势能 Ep = m g h
3、= m g l (1cos ),将cos 展开,因为 很小，上式只取前两项，,6,所以,因为,所以,上式表示, 尽管在简谐振动过程中，单摆系统的动能和势能都随时间作周期性变化，但总能量是恒定不变的，并与振幅的平方成正比。,总能量,7-2 简谐振动的叠加,一、同一直线上两个同频率简谐振动的合成,设有两个同频率的谐振动,合振动,而,讨论：1.,2.,合振幅减小，振动减弱,合振幅最大，振动加强,二、同一直线上两个频率相近的简谐振动的合成,两谐振动分别为,合振动,合振动不再是谐振动，而是一种复杂振动,矢量图解法（如图）,由矢量图得合振动的振幅为,由上式可见，由于两个分振动频率的微小差异 而产生的合振动
4、振幅时强时弱的现象称为拍现象。 合振动在1s内加强或减弱的次数称为拍频。,拍频为,三角函数法,设两个简谐振动的振幅和初相位相同,合振动为,拍频的振幅为,振幅的周期为,拍频为,拍的振动曲线如右图,三、两个互相垂直的简谐振动的合成,以cos乘以(3)式，cos乘以(4)式，再两式相减得,（5）,以sin乘以(3)式，sin乘以(4)式后两式相减得,(5)式、(6)式分别平方后相加得合振动的轨迹方程,（6）,此式表明，两个互相垂直的、频率相同的简谐振动合成，其合振动的轨迹为一椭圆，而椭圆的形状决定于分振动的相位差（）。,讨论： 1. 0 或 时,即,合振动的轨迹是通过坐标原点的直线，如图所示。, 0
5、 时，相位相同，取正号，斜率为B/A；, 时，相位相反，取负号，斜率为-B/A。,合振动的振幅,合振动的轨迹是以坐标轴为主轴的正椭圆，如右图所示。, = /2 时，合振动沿顺时针方向进行；, = /2 时，合振动沿逆时针方向进行。,若A=B，椭圆变为正圆，如右图所示。,3. 如果()不为上述数值，那么合振动的轨迹为处于边长分别为2A(x方向)和2B(y方向)的矩形范围内的任意确定的椭圆。,两个分振动的频率相差较大，但有简单的整数比关系，这样的合振动曲线称为利萨如图形。,不同频率的垂直振动运动的合成。,16,7-3 阻尼振动、受迫振动和共振,一、阻尼振动(damped vibration),振幅
6、随时间减小的振动称为阻尼振动。,以物体受流体阻力作用下的振动为例：,阻力为,物体的振动方程,令 则有,式中0称为振动系统的固有角频率，称为阻尼常量。,17,讨论：1. 当 2 02 时，阻尼较小 ，上式的解为,其中,振动曲线如图，是一种准周期性运动。,2. 当 2 02 时， 阻尼较大，即过阻尼，不再是周期性运动，如图。,3. 当 202时，处于临界阻尼状态，如图。,周期为,18,二、受迫振动(forced vibration),在周期性外力作用下发生的振动，称为受迫振动。,引起受迫振动的周期性外力称为驱动力。,设驱动力为 F cos t，则振动方程,此式表示, 受迫振动是由阻尼振动 和简谐振
7、动 两项叠加而成的。,19,可见，稳定状态的受迫振动是一个与简谐驱动力同频率的简谐振动。,将(3)式代入(1)得,由此得,将cos ( t ) 和 sin ( t) 展开，则,(4),(5),20,由(6)式求得,由式(6)和式(7)看出，受迫振动的初相位和振幅A不仅与振动系统自身的性质有关，而且与驱动力的频率和幅度有关。,21,三、共振(resonance),当驱动力角频率接近系统的固有角频率时，受迫振动振幅急剧增大的现象，称为共振。振幅达到最大值时的角频率称为共振角频率。,对(7)式求极大值得共振角频率为,可见，系统的共振角频率既与系统自身的性质有关，也与阻尼常量有关。,将(8)式代入(7)式得共振时振幅峰值为,(8),
