《线性代数ppt课件3 2矩阵的初等变换与初等矩阵.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数ppt课件3 2矩阵的初等变换与初等矩阵.ppt（41页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、2 矩阵的初等变换与初等矩阵,目的要求,（3）掌握利用初等行变换判别方阵是否可逆和求逆阵的方法；,（1）了解矩阵的初等列变换、标准形等概念；,（2）掌握初等矩阵的特点和在矩阵乘法中的作用；,（4）掌握利用初等行变换求解特殊矩阵方程的方法.,一、初等变换与标准形,矩阵的初等行变换:,矩阵的初等列变换:,初等变换,求解线性方程组为了解不变，必须着眼于方程整体变化，所以原则上只用矩阵的初等行变换，而不用矩阵的初等列变换.,标准形,标准形矩阵特点：,任意矩阵经过初等变换总可以化为标准形.,左上角是一个单位矩阵，其余元素均为0.,标准形的形式有四种：,等价关系：,满足以下三个性质的关系称为等价：,” 表
2、示.,等价用“,1.反身性，AA；,2.对称性，若AB，则BA；,3.传递性，若AB，BC，则AC,等价矩阵：,矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B，是一种等价关系，称矩阵A、B等价，记作,矩阵A经有限次初等行变换变成矩阵B，是一种等价关系，称矩阵A与B按行等价，记作,矩阵A经有限次初等列变换变成矩阵B，是一种等价关系，称矩阵A与B按列等价，记作,二、引例,三、初等矩阵,定义：称由单位矩阵经一次初等变换得到的矩阵为初等矩阵.,1、对调两行或两列,E(i,j),2、以非零数k乘某行或某列,E(i(k),由对角矩阵的特性知：,3、以数k乘某行（列）加到另一行,i,j,E(i j(k),例1,解矩阵方程
3、,解：,例2,解矩阵方程,解：,四、初等变换的性质,定理1 设 是一个 矩阵，,对A 施行一次初等行变换，,相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵；,对A 施行一次初等 列变换，,相当于在A 的右边乘以相应的n阶初等矩阵.,方阵可逆的充要条件,定理2： n 阶方阵,可逆,设A可逆，且标准形为,左端行列式为0，右端行列式不为0 ，矛盾.,初等矩阵可逆，有限个可逆阵乘积也可逆.,可以写成有限个初等矩阵的乘积,定理3： 设A与B为,矩阵，则,（1）,（2）,（3）,存在可逆阵,存在可逆阵,存在可逆阵,五、初等变换应用一-求逆阵,例3,解：,六、初等变换应用二-求解Ax=B,当A为可逆方阵，矩阵方程 AX=B 的解为,例4,解：,七、初等变换应用三,方法：,变换成,即得所求,利用初等行变换将,例5,设,的行最简形矩阵为,，求,，并求一个可逆矩阵,，使,解：,八、思考题,解：,解：,经四次初等行变换化成单位矩阵,而这4次初等行变换所对应的初等阵为:,由初等方阵的性质得,于是,注：答案不唯一,2 矩阵的初等变换与初等矩阵,目的要求,（3）掌握利用初等行变换判别方阵是否可逆和求逆阵的方法；,（1）了解矩阵的初等列变换、标准形等概念；,（2）掌握初等矩阵的特点和在矩阵乘法中的作用；,（4）掌握利用初等行变换求解特殊矩阵方程的方法.,
