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1、结构力学第12章 能量原理,主要内容,1 杆件的应变能及应变余能计算,2 结构势能定义及势能原理,3 结构余能定义及余能原理,能量的概念大家早已了解，在第六章分析静定结构的位移计算中，曾介绍了虚功方程的两种应用：虚设单位力求位移和虚设单位位移求未知力。在本章中将介绍基于能量原理基础上的解题方法。,12.1 杆件的应变能及应变余能计算,1 应变能密度和应变余能密度,应变能密度定义 :单位体积内的应变能称为应变能密度,1.1 应变能密度,例如简单拉伸杆件，取出dx微段，其拉伸曲线如图(a)所示,应变能U为,（12-1）,根据应变能密度的定义，则应变能密度为,（12-2）,即应力 应变曲线中OAB所
2、围的面积。,1.2 应变余能密度,应变余能密度定义 :单位体积内的应变余能称为应变余能密度。,仍以简单拉伸杆件为例，应变余能为,（12-3）,根据应变余能密度的定义，则应变余能密度u*N为,即应力 应变曲线中OAC所围的面积。,（12-4）,对于线弹性材料，=E.有，则,（12-5）,2 杆件的应变能和应变余能,象纯拉伸一样，当杆件处于纯剪切和纯弯曲时，其应变能密度分别为,定义：单位杆长上的应变能为杆件的应变能密度，用u1表示。,则当杆件同时承受拉伸、剪切和弯曲时，其杆件的应变能密度为,对于线弹性材料，有FN=EA. ， FQ=GA. /k（k为截面形状系数），M=EI . 。则,（12-7）
3、,设：杆截面形心的轴向位移为u，横向位移为v，截面的转角为。则几何方程为,（12-9）,将上式代入（12-7）式得,（12-10）,一根杆的应变能为,（12-11）,（12-12）,定义：单位杆长上的应变余能为杆件的应变余能密度，用u*1表示。,当杆件同时承受拉伸、剪切和弯曲时，其杆件的应变余能密度为,（12-13）,对于线弹性材料，用类似的方法，可以得,（12-14）,一根杆的应变余能为,（12-15）,上式中，U为杆件结构的应变能，对于刚架而言，通常仅考虑弯曲应变能，则,12.2势能原理,1 势能的定义,杆件结构的势能Ep定义为,（12-16）,（12-17）,上式中e为结构中杆件的排序号
4、。E*p为结构的荷载势能，通常以结构未变形前的荷载位置为起始位置，则,（12-18）,上式中p为荷载的序号，为Fp方向上的位移。,2 势能驻值原理,势能驻值原理：在所有几何可能的位移状态中，真实的位移应使结构势能为驻值。,这一能量原理说明，如果位移满足全部的变形协调条件，而且还能使势能为驻值，则与此位移相应的内力必然满足全部的静力平衡条件。即说明势能驻值条件与平衡条件是等价的。,可以证明，在小变形、线弹性的稳定平衡问题中，满足几何方程、物理方程和静力平衡方程的解是唯一的。此时真实的位移不仅使势能取得极值，而且该极值为极小值。这就是最小势能原理。,3势能驻值原理应用,3.1 利用势能驻值原理推导
5、位移法典型方程,设：位移法的基本未知量向量为Z =Z1 Z2 ZnT,在位移法基本结构中，各杆任一截面的位移方程可表示为,上式中， 为基本结构由于Zi=1时引起的各杆任一截面的位移方程。vp为基本结构在荷载作用下任一截面的位移方程。,与广义荷载Fp相应的广义位移也可表示为,上式中， 为基本结构由于Zi=1时引起的与广义荷载相应的广义位移。p为基本结构在荷载作用下引起的与广义荷载相应的广义位移。,则结构的势能为,根据势能驻值条件得,即,或,因为， 为Zi=1时的基本结构的内力（弯矩）， 为Zj=1时的基本结构变形（曲率）。则 为基本结构Zi=1时的内力（弯矩）在Zj=1时的变形（曲率）上所做的内
6、力虚功（虚应变能）。而当Zi=1时基本结构的外力（r1i、 r2i rni ）在Zj=1时的位移上所做的外力虚功为W ij=rij1=rij。,根据虚功方程U ij =W ij得,或,又因为 为单独在荷载作用下的基本结构的变形（曲率）。,代表了当Zi=1时基本结构的内力（弯矩）在单独在荷载作用下基本结构的变形（曲率）上所做的内力虚功。,而当Zi=1时基本结构的外力（r1i、 r2i rni ）在单独在荷载作用下基本结构的变形上所做的外力虚功为0。所以根据虚功方程得,当Zi=1时的基本结构外力，在基本结构单独在荷载作用下的变形上所做得的虚功为0，而在基本结构单独在荷载作用下的外力在Zi=1时的基
7、本结构的变形上所做的虚功为,或,根据功的互等定理有,即,由上述讨论可得,这就是杆系结构的位移法典型方程。,多提意见与建议谢谢！,作业：,建立在能量原理基础之上的解题方法是一种精确方法，但在精确解难以求得或不能求得的许多工程实际问题中，能量原理又能为我们提供一种求近似解的有效途径。瑞利里兹法就是其中之一。 在介绍瑞利里兹法之前，先介绍两个基本概念：,3.2瑞利里兹法(Rayleigh-Ritz Method),静力可能内力 对于变形体而言，如果它的内力与外力满足全部的静力平衡条件，即满足杆件的平衡微分方程，而且在边界上和结点处满足力的平衡条件，则此种内力称为静力可能内力。 对于静定结构而言，静力
8、可能的内力是唯一的，而对于超静定结构而言，静力可能的内力不是唯一的。,几何可能位移 如果变形体的应变、与位移u、v、满足几何方程，而且在结点处满足位移连接条件，在边界上能与约束几何相容。则此种位移称为几何可能位移。 在变形体上，这种几何可能位移有无穷组，但只有同时能满足静力平衡条件的那一组才是真实的解答。,结构的总势能是一个泛函，对于稳定的平衡问题而言，按位移法求解时，就归结为求泛函的极值问题。瑞利里兹法就是建立在泛函求极值基础之上的一种求近似解的方法。下面举例说明。,例1 用瑞利里兹法求图示简支梁的挠度和弯矩。,该题材料力学已有精确解，在梁中点挠度,中点弯矩,解：设该简支梁的挠曲线（几何可能
9、位移）为,这个函数不仅满足简支梁的两端的位移边界条件，而且满足两端力的边界条件：,(1)仅取级数的首项，则,由势能驻值条件 得,即,则,，比精确解少1.44%，,，比精确解少19%。,(2)仅取级数的前两项 ，则,上式中没有取 项，是因为在Fp的作用下，内力和变形都是对称的，而此项在中点处v=0，变形是反对称的。,由势能驻值条件 得,解之得,则,，比精确解少0.24%,，比精确解少10%,误差仍较大，但位移和弯矩的精度均有所提高，随着级数项数增加，位移和弯矩都将趋于精确解。,12.3余能原理,1 余能的定义 ：杆件结构的余能EC定义为,（12-19）,上式中，U*为杆件结构的应变余能，对于线弹
10、性材料而言，杆件结构的应变余能为,（12-20）,E*C为结构的支座位移余能，或称给定边界位移余能，即在支座位移c上相应支座反力R所做的虚功总和的负值。,（12-21）,2 余能驻值原理,超静定杆件结构的余能驻值原理可表述如下：在所有静力可能内力中，真实的内力应使结构的余能为驻值。 该原理说明，如果内力满足全部的静力平衡条件，而且还能使结构的余能为驻值，则与此内力相应的变形必然满足变形协调条件，即余能驻值条件与变形协调条件是等价的。 可以证明：超静定结构中，在同时满足静力平衡方程、几何方程和物理方程的解具有唯一性的情况下，结构的真实内力不仅使余能为驻值，而且该驻值一定为极小值。这就是最小余能原
11、理。,3 余能驻值原理应用,3.1 利用余能驻值原理推导力法典型方程,设力法基本未知量向量为X=X1 X2 XnT ，在力法基本结构中，各杆任一截面的内力可表示为,支座反力可表示为,(b),(a),上述各式中 、 、 和 分别为力法基本结构在Xi=1时，所产生的任一截面的内力和反力；FNp、 FQp 、 Mp 和Rp 分别为力法基本结构单独在荷载作用时的任一截面的内力和反力。则,(c),根据余能驻值条件 得,(d),展开得,所以(d)式可以写成,这就是力法的典型方程。,因为,3.2 利用余能驻值原理直接解超静定问题,例2 利用余能驻值原理作图示结构的M图（EI=常数）。,解：,取力法基本结构后，其静力可能的内力为,AB段：,BC段：,结构的应变余能为,结构支座位移余能为E*C =0,则结构的余能为 EC=U*,由余能驻值条件 得,解之得,求出X1后，很容易作M图，如图所示。,
