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1、第二篇,热物理学,研究与温度有关的热现象的科学。,热力学,统计物理学,对宏观的热现象进行观测，用经验归纳法提出几条基本规律，然后用逻辑的方法导出其他规律。,运用统计方法，建立宏观量和大量粒子微观量的统计平均值之间的联系，然后与实验进行比较。,玻尔兹曼,麦克斯韦,第四章 统计物理基础,4-1 统计物理的基本概念,一、物质的微观模型,热力学系统（热力学研究的对象）：大量微观粒子（分子、原子等）组成的宏观体系。,外界：热力学系统以外的物体。,微观粒子体系的基本特征(1)分子(或原子)非常小。109m 1010m(2)热力学系统所包含的微观粒子数非常巨大. NA 1023,(3)分子之间存在相互作用力
2、-分子力。,为斥力且 增加时f 急剧增加,为平衡态，f=0,注意: d 可视为分子力程；数量级在10-10-10-8m数量级，可看为分子直径（有效直径）。,分子力是电性力，远大于万有引力。,(4)分子或原子都以不同的速率不停地运动。,宏观量状态参量 描写热力学系统宏观状态的参量。 如 压强 p、体积 V、温度 T 等。,微观量 描述系统内个别微观粒子特征和运动状态的物理量。 如分子的质量、 直径、速度、动量、能量 等。,微观量与宏观量有一定的内在联系。,二、系统状态的描写,在这过程中，各点密度、温度等均不相同，这就是非平衡态。但随着时间的推移，各处的密度、压强等都达到了均匀，无外界影响，状态保
3、持不变，就是平衡态。,设一容器，用隔板将其隔开当隔板右移时，分子向右边扩散,平衡态: 在无外界的影响下，系统的宏观性质不随时间改变的稳定状态。,假想把箱子分成两相同体积的部分，达到平衡时，两侧粒子有的穿越界线，但两侧粒子数相同。,例如：粒子数,说明：,平衡态是一种理想状态,处在平衡态的大量分子仍在作热运动，而且因为碰撞， 每个分子的速度经常在变，但是系统的宏观量不随时间 改变。,平衡态是一种热动平衡,状态方程,理想气体,物态方程(状态方程),当系统处于平衡态时，三个状态参量存在一定的函数关系：,m气体质量M气体摩尔质量,三、分子热运动的无序性和统计规律性,什么是统计规律性(statistica
4、l regularity),大量偶然性从整体上所体现出来的必然性。,例. 扔硬币,从入口投入小球,与钉碰撞,落入狭槽,为清楚起见 , 从正面来观察。,( 偶然 ),隔板,铁钉,统计规律和方法 伽尔顿板,大量偶然事件整体所遵循的规律 统计规律。,再投入小球：,经一定段时间后 , 大量小球落入狭槽。,分布情况：,中间多，两边少。,重复几次 ，结果相似。,单个小球运动是随机的 ,大量小球运动分布是确定的。,统计规律和方法 伽尔顿板,小球数按空间位置 分布曲线,四、 统计的基本概念,1. 概率,如果N次试验中出现A事件的次数为NA,当N时，比值NA/N称为出现A事件的概率。,概率的性质:,(1) 概率
5、取值域为,统计规律特点: (1)只对大量偶然的事件才有意义. (2)它是不同于个体规律的整体规律(量变到质变). (3) 大数量现象在一定宏观条件下的稳定性。,(2) 各种可能发生的事件的概率总和等于1.,几率归一化条件,(3) 二互斥事件的概率等于分事件概率之和,(4) 二相容事件的概率等于分事件概率之积,2. 概率分布函数,随机变量,在一定条件下, 变量以确定的概率取各种不相同的值。,1. 离散型随机变量,取值有限、分立,表示方式,2. 连续型随机变量,取值无限、连续,随机变量x的概率密度,变量取值在xx+dx间隔内的概率,概率密度等于随机变量取值在单位间隔内的概率。,又称为概率分布函数（
6、简称分布函数）。,3. 统计平均值,算术平均值为,统计平均值为,对于离散型随机变量,随机变量的统计平均值等于一切可能状态的概率与其相应的取值 乘积的总和。,对于连续型随机变量,统计平均值为,“涨落”现象,-测量值与统计值之间总有偏离,处在平衡态的系统的宏观量，如压强P，不随时间改变， 但不能保证任何时刻大量分子撞击器壁的情况完全一样， 分子数越多，涨落就越小。,布朗运动是可观测的涨落现象之一。,例：氧气瓶的压强降到106Pa即应重新充气，以免混入其他气体而需洗瓶。今有一瓶氧气，容积为32L，压强为1.3107Pa，若每天用105 Pa的氧气400L，问此瓶氧气可供多少天使用？设使用时温度不变。
7、,解: 根据题意，可确定研究对象为原来气体、用去气体和剩余气体，设这三部分气体的状态参量分别为,使用时的温度为T,设可供 x 天使用,分别对它们列出状态方程，有,4-2 理想气体的压强 温度和内能,一、理想气体的微观模型和统计假设,1 . 理想气体微观模型,理想气体的分子模型是弹性的自由运动的质点。,2 . 统计假设, 分子数密度处处相等；, 分子沿各个方向运动的几率均等。,亦即：分子速度在各个方向上的分量的各种平均值相等。,二理想气体的压强公式,一定质量的处于平衡态的某种理想气体。(V,N,m ),平衡态下器壁各处压强相同，选A1面求其所受压强。,i分子动量增量,i分子对器壁的冲量,i分子相
8、继与A1面碰撞的时间间隔,单位时间内i分子对A1面的碰撞次数,单位时间内i分子对A1面的冲量,i分子对A1面的平均冲力,所有分子对A1面的平均作用力,压强,i分子对A1面的平均冲力,分子的平均平动动能,平衡态下,三、分子的平均平动动能与温度的关系,温度是气体分子平均平动动能大小的量度,例:（1）在一个具有活塞的容器中盛有一定的气体。如果压缩气体并对它加热，使它的温度从270C升到1770C，体积减少一半，求气体压强变化多少？ （2）这时气体分子的平均平动动能变化多少？,解：,气体分子的方均根速率,气体分子的方均根速率与气体的热力学温度的平方根成正比，与气体的摩尔质量的平方根成反比。,1. 自由
9、度,确定一个物体的空间位置所需要的独立坐标数目。,以刚性分子（分子内原子间距离保持不变）为例,四、能量按自由度均分定理,平动自由度t=3,实际气体不能看成刚性分子，因原子之间还有振动,二、能量均分定理,气体分子沿 x,y,z 三个方向运动的平均平动动能完全相等，可以认为分子的平均平动动能 均匀分配在每个平动自由度上。,平衡态下，不论何种运动，相应于每一个可能自由度的平均动能都是,能量按自由度均分定理,如果某种气体的分子有个 t 个平动自由度, r 个转动自由度, s 个振动自由度.则分子具有：,注意：对应分子的一个振动自由度，除有一份 振动的动能外，还有一份平均势能。,结论：分子的平均总能量,
10、对刚性分子：气体分子无振动，则分子的平均动能为,五、理想气体的内能,分子间相互作用可以忽略不计,理想气体的内能=所有分子的热运动动能之总和,1mol理想气体的内能为,一定质量理想气体的内能为,温度改变，内能改变量为,例 就质量而言，空气是由76%的N2，23%的O2和1%的Ar三种气体组成，它们的分子量分别为28、32、40。空气的摩尔质量为28.910-3kg，试计算1mol空气在标准状态下的内能。,解： 在1摩尔空气中,N2质量,摩尔数,O2质量,摩尔数,Ar质量,摩尔数,1mol空气在标准状态下的内能,作 业统计物理学基础(一),平衡态下，理想气体分子速度分布是有规律的，这个规律叫麦克斯
11、韦速度分布律。若不考虑分子速度的方向，则叫麦克斯韦速率分布律。,温度和压强都涉及到分子的平均动能，即有必要研究一下分子速率的规律。这个规律早在1859年由麦克斯韦应用统计概念从理论上推导出耒，尔后被实验证实。,4-3 麦克斯韦分子速率分布率,一、分子速率分布的实验测定,测定分子速率分布的实验装置,圆筒不转，分子束的分子都射在P处,圆筒转动，分子束的速率不同的分子将射在不同位置,下面列出了Ag分子在某温度时不同速率的分子数占总分子的百分比。,速率分布函数,速率分布曲线,归一化条件,麦克斯韦速度分布律,二、麦克斯韦分布律及三种统计速率,麦克斯韦速度分布律,麦克斯韦速度分布函数,麦克斯韦速率分布律,
12、麦克斯韦速率分布函数,麦克斯韦速度分布律,一个分子处于vv+dv区间内的概率,麦克斯韦速率分布函数,1、最概然速率,极值条件,2、平均速率,分子速率的三个统计值,对于连续分布,3、方均根速率,1、温度与分子速率,温度越高，分布曲线中的最概然速率vp增大，但归一化条件要求曲线下总面积不变，因此分布曲线宽度增大，高度降低。,麦克斯韦分布曲线的性质,氧气分子分布函数和温度的关系,2、质量与分子速率,分子质量越大，分布曲线中的最可几速率vp越小，但归一化条件要求曲线下总面积不变，因此分布曲线宽度减小，高度升高。, 分布在速率 v 附近 v v + dv 速率区间内的分子数占总分子数的比率。, 分布在速
13、率v附近v v+dv速率区间内的分子数。, 单位体积内分子速率分布在速率 v附近v v+dv速率区间内的分子数。, 分布在有限速率区间v1 v2 内的分子数占总分子数的比率。, 分布在有限速率区间 v1 v2内的分子数。, 分布在 0 速率区间内的分子数占总分子数的比率。（ 归一化条件）, v2 的平均值。,解： (1)气体分子的分布曲线如图,由归一化条件,平均速率,方均速率,方均根速率为,(3)速率介于0v0/3之间的分子数,(4)速率介于0v0/3之间的气体分子平均速率为,讨论：速率介于v1v2之间的气体分子的平均速率的计算,对于v的某个函数g(v)，一般地，其平均值可以表示为,4-4 玻
14、耳兹曼分布律,一 、 玻耳兹曼分布律,经典粒子按能量的分布函数为：,麦克斯韦玻耳兹曼分布,（MB分布）,粒子数按势能分布,当系统各部分的宏观物理性质如密度、温度或流速不均匀时，系统就处于非平衡态.在不受外界干扰时,系统总是要从非平衡态自发地过渡到平衡态.这种过渡称为输运过程.,4-7 气体的输运过程,输运过程有三种热传导、扩散、内摩擦.,氮气分子在270C时的平均速率为476m.s-1.,克劳修斯指出：气体分子的速度虽然很大，但前进中要与其他分子作频繁的碰撞，每碰一次，分子运动方向就发生改变，所走的路程非常曲折。,气体分子平均速率,一、平均碰撞频率和平均自由程,在相同的t时间内，分子由A到B的
15、位移大小比它的路程小得多,分子自由程:,气体分子两次相邻碰撞之间自由通过的路程。,分子碰撞频率:,在单位时间内一个分子与其他分子碰撞的次数。,大量分子的分子自由程与每秒碰撞次数服从统计分布规律。可以求出平均自由程和平均碰撞次数。,假定,平均碰撞次数,运动方向上，以 d 为半径的圆柱体内的分子都将与分子A 碰撞,一秒钟内:,一秒钟内A与其它分子发生碰撞的平均次数,一切分子都在运动,平均自由程,与分子的有效直径的平方和分子数密度成反比,当温度恒定时,平均自由程与气体压强成反比,平均自由程,在标准状态下，几种气体分子的平均自由程,例 计算空气分子在标准状态下的平均自由程和平均碰撞频率。取分子的有效直径d=3.510-10m。已知空气的平均分子量为29。,解：,已知,空气摩尔质量为2910-3kg/mol,空气分子在标准状态下的平均速率,作 业统计物理学基础(二),
