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1、第一节 解析函数的概念与柯西黎曼方程,一、复变函数的导数与微分,二、解析函数的概念,2,一、复变函数的导数与微分,1.导数的定义:,3,在定义中应注意:,4,例1,解,5,3.求导法则:,求导公式与法则:,6,7,2.可导与连续:,函数 f (z) 在 z0 处可导则在 z0 处一定连续, 但函数 f(z) 在 z0 处连续不一定在 z0 处可导.,证,8,证毕,9,例2,解,10,4.微分的概念:,复变函数微分的概念在形式上与一元实变函数的微分概念完全一致.,定义,11,特别地,12,二、解析函数的概念,1. 解析函数的定义,13,2. 奇点的定义,根据定义可知:,函数在区域内解析与在区域内
2、可导是等价的.,但是,函数在一点处解析与在一点处可导是不等价的概念. 即函数在一点处可导, 不一定在该点处解析.,函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高得多.,14,例4,解,15,16,17,例5,解,18,定理,以上定理的证明, 可利用求导法则.,19,根据定理可知:,(1) 所有多项式在复平面内是处处解析的.,20,思考题,21,思考题答案,反之不对.,放映结束，按Esc退出.,22,一、主要定理,定理一,23,例4,证,24,定理二,25,证,(1) 必要性.,26,27,(2) 充分性.,由于,28,29,30,证毕,31,32,解析函数的判定方法:,33,二、典型例题,解,不满足柯西黎曼方程,34,四个偏导数均连续,指数函数,35,四个偏导数均连续,36,例2,证,37,例3,解,38,例7,证,根据隐函数求导法则,39,根据柯西黎曼方程得,40,思考题,41,思考题答案,放映结束，按Esc退出.,
