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1、第六章 线性方程组的数值求解,6.1 高斯顺序消去法6.2 高斯列主元消去法6.5 追赶法6.6 向量与矩阵的范数6.7 误差分析6.8 迭代法,引言,高斯顺序消去法的条件,6.2 高斯列主元素消去法,列主元消去法,在四位浮点十进制数的计算机上, 结果为 x1=0 x2=1,例5 用高斯顺序消元法解线性方程组，并假设求解是在四位浮点十进制数的计算机上进行,0.0001x1+x2=1 x1+x2=2,9999 x2=9998,0.0001x1+x2=1,解： 消元，得,这与实际结果相差甚远。,假设求解是在四位浮点十进制数的计算机上进行,0.0001x1+x2=1 x1+x2=2,将两个方程对调，
2、得 x1+x2=2 0.0001x1+x2=1,在四位浮点十进制数的计算机上,上式为 x1+x2=2 即 x1+x2=2 (0.1000101-0.00001 101）x2=1 x2=1,（1-0.0001) x2=1,x1+x2=2,消元，得,解得： x1=1， x2=1,现在我们再用列主元法解例3,6.6 向量和矩阵的范数,定义( 向量范数) x 和 y 是 Rn 中的任意向量 , 向量范数是定义在 Rn上的实值函数, 它满足:,(1) x 0, 并且当且仅当 x=0 时, x =0;,(2) k x =|k| x , k 是一个实数;,(3) x + y x + y ,常使用的向量范数有
3、三种,设 x=(x1,x2,xn)T,常使用的矩阵范数有三种,设 x=(x1,x2,xn)T,迭代法适用于求解大型稀疏的线性方程组，其基本思想是通过构造迭代格式产生迭代序列，由迭代序列来逼近原方程组的解，因此，要解决的基本问题是：1. 如何构造迭代格式 2.迭代序列是否收敛,一 . 基本迭代法的格式及收敛性二 . 几种实用的基本迭代法三 . 应用实例,6.8 迭代法,一 . 基本迭代法的格式及收敛性,设有线性代数方程组 a11x1+a12x2+a1nxn=b1 a21x1+a22x2+a2nxn=b2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . an1x
4、1+an2x2+annxn=bn,用矩阵表示： Ax =b A 为系数矩阵，非奇异且设aii0；b为右端，x为解向量,注：分解A是一个重要问题,在Rn中，点列的收敛等价于每个分量的收敛。即,二.几种实用的基本迭代法,1、Jacobi迭代法2、Gauss-Seidel迭代法3、超松弛迭代法（SOR),1、Jacobi 迭代,Jacobi迭代矩阵,推导其分量形式,第i个方程除以aii(i =1,2,n),得,Jacobi迭代的分量形式,则 x(k+1)=BJx(k)+g ，这里 BJ=D-1(L+U) , g=D-1b,Jacobi迭代公式（分量形式）,给出初始向量 x(0), 即可得到向量序列：
5、 x(1),x(2),x(k),若 x(k) x*, 则x*是解。,例1：设方程组为,解：Jacobi迭代格式为,试写出其Jacobi分量迭代格式以及相应的迭代矩阵，并求解。,故Jacobi迭代矩阵为,取 x(0)=(0,0,0)t, e=10-3,终止准则：x(k)-x(k-1)e,2、高斯塞德尔迭代法,例2：设方程组为,解： Gauss-Seidel迭代格式为,试写出Gauss-Seidel迭代格式.,2、Gauss-Seidel迭代法,Gauss-Seidel迭代的分量形式,推导Gauss-Seidel迭代法的矩阵形式,Gauss-Seidel迭代矩阵,Gauss-Seidel迭代公式,
6、给出初始向量 x(0), 即可得到向量序列： x(1),x(2),x(k),若 x(k) x*, 则x*是解。,例:讨论用Gauss-Seidel迭代法求解方程组Ax=b时的收敛性，已知,解:(1)对A：不是严格对角占优的矩阵，无法用充分准则I，(2)考虑充分准则II，计算Jacobi迭代矩阵BJ=D-1（L+U）=I-D-1A,不满足充分准则II，故无法判断。,先求出Gauss-Seidel迭代矩阵 BG=(D-L)-1U,(3)考虑用准则II的充分条件,不满足准则II的充分条件，故无法判断。,(4)再用准则I的充要条件,例:讨论用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解方程组Ax=b时的收敛性，如果收敛，并比较哪种方法收敛较快，其中,解: (1)对Jacobi方法，迭代矩阵,(2)对Gauss-Seidel方法，迭代矩阵,Gauss-Seidel方法比Jacobi方法收敛快。,
