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1、计算机图形学习题解答,解: (1)根据题意斜率 ,直线方程为 .因此x是最大位移方 向，每次在x方向上加1，y方向上减1或减0。假设当前点为P(xi,yi), 则下一个点在Pd(xi+1,yi-1)与Pu(xi+1,yi)中选一.以M表示Pu与Pd 的中点,即M(xi+1,yi-0.5).,用中点Bresenham算法画直线段的原理推导起点为(0,0),终点为(8,-6)的直线绘制过程.,(2)构造判别式：,(3)误差项递推：,(4)d的初始值,当di0时，则取Pd。当di=0时，约定取Pd,即,判别式及坐标值x 0 1 2 3 4 5 6 7 8y 0 -1 -2 -2 -3 -4 -5 -
2、5 -6d 0 -1/4 0 -1/4 1/4,5.7利用中点Breshham画圆算法的原理推导第一象限x=y到y=0圆弧段的扫描转换算法。,解: (1）最大位移方向为y，其基本原理是：每次y方向上走一步，x方向上或加1，或加0。假定当前与圆弧最近者已确定，为P(xi,yi)，那么，下一候选像素点只能是右下方的Pu(xi+1,yi-1)和正下方Pd(xi,yi-1)。 （2）构造判别式： d=F(xm,ym)=F(xi+0.5,y-1)=(xi+0.5)2+(yi-1)2-R2 当d=0时，取Pd(xi,yi-1)。,（3）误差项递推公式: 当d0时，取Pd，则要判断再下一个像素，应计算: d
3、=F(xi+0.5,yi-2)=(xi+0.5)2+(yi-2)2-R2 =d+3-2yi因此，d增量为3-2yi。,（4）d的初始值为1.25-R.,5.11 解：ET表如下：,A6A5,A4A5,A4A3,A2A3,当扫描线Y=4时的有效边表如下：,6.7如图所示四边形 ABCD，求绕P（5，4)点分别旋转45和90的变换矩阵，并求出各端点坐标，画出变换后的图形。,解：,6.13 解:根据已知条件,可得wxl=0,wxr=2,wyb=0,wyt=2; 直线段的斜率k=5/4. 由编码规则，可得A的编码为1010，B的编码为0101。 A|B=11110, A&B=0 对于直线段AB既不能简
4、取也不能简弃，需进行求交处理。 由A的编码可知A在窗口右外侧，与右边界、上边界有交点，分别设为 P1(x1,y1)和P2(x2,y2)。其坐标计算如下：,则,可得P1的编码为0000,P2的编码为0010,故P1为实交点,丢掉P1A.,又 P1|B=01010, A&B=0 对于直线段P1B既不能简取也不能简弃，需进行求交处理。 由B的编码可知B在窗口左外侧，与左边界、下边界有交点，分别设为 P3(x3,y4)和P4(x4,y4)。其坐标计算如下：,则,可得P3的编码为0100,P4的编码为0000,故P4为实交点,丢掉P4B. 所以,裁剪后窗口内的直线段为P1P4,坐标分别为(2,7/4)和
5、(3/5,0).,6.17 解: 根据已知条件,令x1=3,y1=3,x2=-1,y2=-2; 可得,wxl=0,wxr=2,wyt=2,wyb=0, x=-4, y=-5; 则，p1= -x =4,p2= x =-4,p3=- y =5,p4= y =-5; q1=x1-wxl=3,q2=wxy-x1=-1,q3=y1-wxb=3,q4=wyt-y1=-1; pk0(k=1,2,3,4)，则直线段与窗口边界的交点为：,求得直线与窗口的两实点坐标为(2,7/4),(3/5,0).,7.5 求将图7-41中的空间四面体进行如下的变换矩阵，写出复合变换后图形各顶点的规范化齐次坐标，并画出复合变换后
6、的图形。,A(-2,2,2) B(-2,6,2) C(2,6,2 ) D(-2,6,2),7.6 假定一空间直线AB的两端点坐标为A(0,0,0),B(2,2,2)，试写出绕AB旋转300的三维复合变换矩阵。,7.7试作出图7-41中四面体的三视图，要求写清变换式。,主视图：,A(2,0,0) B(2,0,0) C(0,0,0) D(1,0,1),俯视图,A(2,0,-1) B(2,0,-2) C(0,0,-2) D(1,0,-2),侧视图,A(-1,0,0) B(-2,0,-0) C(-2,0,0) D(-2,0,1),5.2 利用DDA算法扫描转换直线段p1p2，其中p1为(0,0)，p2
7、为(20,15) 。答：（1）基本原理：根据题意斜率 ,因此x是最大位移方向，每次在x方向上加1，y方向上加k。即有：,(2)由于在光栅化的过程中不可能绘制半个像素，因此对求出的yi+1的值需进行四舍五入，即round(yi+1)=(int)(yi+1+0.5)。解得像素序列如下：,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,x,y,o,解: 根据题意斜率 ,因此x是最大位移方向，每次在x方向上加1，y方向上加1或加0。,改进的Bresenham算法,误差项的计算d
8、初=0，每走一步：d=d+3/4 一旦y方向上走了一步，d=d-1,解: 根据题意斜率 ,因此x是最大位移方向，每次在x方向上加1，y方向上加1或加0。,改进的Bresenham算法,误差项的计算e初=-x=-20，每走一步：e=e+ 2y=e+30一旦y方向上走了一步，e=e- 2x=e-40,已知椭圆的长半轴a=12,b=8.用中点Bresenham画椭圆算法确定第二象限椭圆弧上的像素点的位置,初始点为(-12,0).,解: 根据题意,先绘制椭圆弧的下半部分. y是最大位移方向,每次走一步,在y方向上加1,x方向上加1或加0.构造判别式:,误差项递推:,下面绘制椭圆弧的上半部分. x是最大
9、位移方向,每次走一步,在x方向上加1,y方向上加1或加0.构造判别式:,误差项递推:,初始值 d2用下半部分计算的最后像素点的坐标值来计算。,5.11 解：ET表如下：,A6A5,A4A5,A4A3,A2A3,当扫描线Y=4时的有效边表如下：,6.3试推导将二维平面上任意直线段p1(x1,y1)p2(x2,y2)转换成与x轴重合的变换矩阵。,解：（1）先将p1(x1,y1)平移到原点； （2）顺时针旋转 ；,其中：,6.7如图所示四边形 ABCD，求绕P（5，4)点分别旋转45和90的变换矩阵，并求出各端点坐标，画出变换后的图形。,解：(1),(2),6.13 解:根据已知条件,可得wxl=0
10、,wxr=2,wyb=0,wyt=2; 直线段的斜率k=5/4. 由编码规则，可得A的编码为1010，B的编码为0101。 A|B=11110, A&B=0 对于直线段AB既不能简取也不能简弃，需进行求交处理。 由A的编码可知A在窗口右外侧，与右边界、上边界有交点，分别设为 P1(x1,y1)和P2(x2,y2)。其坐标计算如下：,则,可得P1的编码为0000,P2的编码为0010,故P1为实交点,丢掉P1A.,又 P1|B=01010, A&B=0 对于直线段P1B既不能简取也不能简弃，需进行求交处理。 由B的编码可知B在窗口左外侧，与左边界、下边界有交点，分别设为 P3(x3,y4)和P4
11、(x4,y4)。其坐标计算如下：,则,可得P3的编码为0100,P4的编码为0000,故P4为实交点,丢掉P4B. 所以,裁剪后窗口内的直线段为P1P4,坐标分别为(2,7/4)和(3/5,0).,6.17 解: 根据已知条件,令x1=3,y1=3,x2=-1,y2=-2; 可得,wxl=0,wxr=2,wyt=2,wyb=0, x=-4, y=-5; 则，p1= -x =4,p2= x =-4,p3=- y =5,p4= y =-5; q1=x1-wxl=3,q2=wxy-x1=-1,q3=y1-wxb=3,q4=wyt-y1=-1; pk0(k=1,2,3,4)，则直线段与窗口边界的交点为
12、：,求得直线与窗口的两实点坐标为(2,7/4),(3/5,0).,7.4 求将图7-40中的物体ABCDEFGH进行如下变换的变换矩阵，写出复合变换后图形各顶点的规范化齐次坐标，并画出复合变换后的图形。 (1)平移使点C与点P（1，-1，0）重合。 (2)绕z轴旋转60。解:,7.8 试推导正轴测图的投影变换矩阵，并写出图7-41中四面体经过正等测变换或正二测后各顶点的齐次坐标。,解:推导略.,正等测变换,正二测变换,7.9 求图7-41中四面体经过斜等测变换或斜二测后各顶点的齐次坐标。,解:斜等测变换,斜二测变换,已知:控制点有:p0(-16,0),p1(-10,10),p2(10,10),
13、p3(16,0),p4(10,-10),p5(-10,-10),p6(-16,0),P7(-10,10).推导:二次均匀周期性B样条曲线,其中参数t的区间为0,1)，并求出t=0.05,0.1,0.15,1这20点的坐标并画出此曲线。解：根据题意，可得m=3,n=7,m+n=10,则节点矢量为：T=(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)。根据以下基函数的式子：,求得：,以上B样条曲线的定义范围为2,8)，若将参数t的定义范围为0,1)，则基函数描述如下：,故p(0)=(-13,5) p(0.05)=(-10.57,7.55) p(0.1)=(-6.88,9.2) p(0.15)=(-1.9
14、3,9.95) p(0.2)=(3.72,9.8) p(0.25)=(8.25,8.75) p(0.3)=(11.52,6.8) p(0.35)=(13.54,4) p(0.4)=(14.04,1) p(0.45)=(14.26,-2) p(0.5)=(13,-5) p(0.55)=(10.57,7.55) p(0.6)=(6.88,-9.2) p(0.65)=(1.93,-9.95) p(0.7)=(-3.72,-9.8) p(0.75)=(-8.25,-8.75) p(0.8)=(-11.52,-6.8) p(0.85)=(-13.54,-4) p(0.9)=(-14.04,-1) p(0
15、.95)=(-14.26,2),5.3 试用中点Bresenham算法画直线段的原理推导斜率为负且大于1的直线段绘制过程。,解：（1)基本原理：根据题意斜率k-1,因此y是最大位移方向，每次在y方向上减1，x方向上或加1，或加0。假设当前点是P(xi,yi),则下一点在Pr(xi+1,yi-1)与Pl（xi,yi-1)中选一。设M是Pr和Pl的中点，即M=(xi+0.5,yi-1)，Q是理想直线与垂直线y=yi-1的交点；若M在Q的左方，则Pr(xi+1,yi-1)离直线近，应取为下一个像素；否则应取Pl(xi,yi-1)。,（2）构造判式如下： d=F(xM,yM)=F(xi+0.5,yi-
16、1)=yi-1-k(xi+0.5)-b 当d0时，取Pl。（3）误差项递推公式: 当d0时，取Pl，则要判断再下一个像素，应计算: d=F(xi+0.5,yi-2)=yi-2-k(xi+0.5)-b =yi-1-k(xi+0.5)-1-k=d-1因此，d增量为-1。,5.7利用中点Breshham画圆算法的原理推导第一象限x=y到y=0圆弧段的扫描转换算法。,解: (1）最大位移方向为y，其基本原理是：每次y方向上走一步，x方向上或加1，或加0。假定当前与圆弧最近者已确定，为P(xi,yi)，那么，下一候选像素点只能是右下方的Pu(xi+1,yi-1)和正下方Pd(xi,yi-1)。 （2）构
17、造判别式： d=F(xm,ym)=F(xi+0.5,y-1)=(xi+0.5)2+(yi-1)2-R2 当d=0时，取Pd(xi,yi-1)。,（3）误差项递推公式: 当d0时，取Pd，则要判断再下一个像素，应计算: d=F(xi+0.5,yi-2)=(xi+0.5)2+(yi-2)2-R2 =d+3-2yi因此，d增量为3-2yi。,5.4 将中点Bresenham画直线段算法推广以便能画出任意斜率的直线（要求写清原理、误差函数、递推公式及最终画图过程）。答：基本原理：假设0=1的直线段上点P1的坐标为 (y,x); k=1的直线段上点P1的坐标为(y,x); 0k=-1的直线段上点P1的坐
18、标为(-x,y); k-1的直线段上点P1的坐标为(-y,x); 因此，在绘图过程，首先要判别k的值，对直线两端点做相应的处理。,6.3试推导将二维平面上任意直线段p1(x1,y1)p2(x2,y2)转换成与x轴重合的变换矩阵。,解：（1）先将p1(x1,y1)平移到原点； （2）顺时针旋转 ；,其中：,6.4 已知点P(xp,yp)及直线L的方程Ax+By+C=0，试推导一个相对L作对称变换的变换矩阵T，使点P的对称点为P=PT。,解：假设A和B都不等于0，则,其中：,6.7如图所示四边形 ABCD，求绕P（5，4)点分别旋转45和90的变换矩阵，并求出各端点坐标，画出变换后的图形。,解：(
19、1),6.13 解:根据已知条件,可得wxl=0,wxr=2,wyb=0,wyt=2; 直线段的斜率k=5/4. 由编码规则，可得A的编码为1010，B的编码为0101。 A|B=11110, A&B=0 对于直线段AB既不能简取也不能简弃，需进行求交处理。 由A的编码可知A在窗口右外侧，与右边界、上边界有交点，分别设为 P1(x1,y1)和P2(x2,y2)。其坐标计算如下：,则,可得P1的编码为0000,P2的编码为0010,故P1为实交点,丢掉P1A.,(2),7.4 求将图7-40中的物体ABCDEFGH进行如下变换的变换矩阵，写出复合变换后图形各顶点的规范化齐次坐标，并画出复合变换后
20、的图形。(1)平移使点C与点P（1，-1，0）重合。(2)绕z轴旋转60。解:,7.8 试推导正轴测图的投影变换矩阵，并写出图7-41中四面体经过正等测变换或正二测后各顶点的齐次坐标。,解:推导略.,正等测变换,正二测变换,7.9 求图7-41中四面体经过斜等测变换或斜二测后各顶点的齐次坐标。,解:斜等测变换,斜二测变换,7.5 求将图7-41中的空间四面体进行如下的变换矩阵，写出复合变换后图形各顶点的规范化齐次坐标，并画出复合变换后的图形。,A(-2,2,2) B(-2,4,2) C(2,4,2 ) D(0,4,0),7.6 假定一空间直线AB的两端点坐标为A(0,0,0),B(2,2,2)
21、，试写出绕AB旋转300的三维复合变换矩阵。,7.7试作出图7-41中四面体的三视图，要求写清变换式。,主视图：,A(2,0,0) B(2,0,0) C(0,0,0) D(1,0,1),俯视图,A(2,0,-1) B(2,0,-2) C(0,0,-2) D(1,0,-2),侧视图,A(-1,0,0) B(-2,0,-0) C(-2,0,0) D(-2,0,1),7.8 试推导正轴测图的投影变换矩阵，并写出图7-41中四面体经过正等测变换或正二测后各顶点的齐次坐标。,解:推导略.,正等测变换,正二测变换,7.9 求图7-41中四面体经过斜等测变换或斜二测后各顶点的齐次坐标。,解:斜等测变换,斜二
22、测变换,已知三次Bezier曲线上的四个点分别为Q0(120,0)，Q1(145,0)，Q2(0,45)，Q3(0,120)，它们对应的参数分别为0，1/3，2/3，1，反求Bezier曲线的控制顶点。,p(0) = Q0 = P0 p(1) = Q3 = P3p(1/3) = Q1 = P0 * BEN0,3(1/3) + P1 * BEN1,3(1/3) + P2 * BEN2,3(1/3)+ P3 * BEN3,3(1/3)p(2/3) = Q2 = P0 * BEN0,3(2/3) + P1 * BEN1,3(2/3) + P2 * BEN2,3(2/3) + P3 * BEN3,3(2/3),
