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1、第七章 蒙特卡罗方法在积分计算中的应用,蒙特卡罗方法求积分重要抽样俄国轮盘赌和分裂半解析方法系统抽样分层抽样,第七章 蒙特卡罗方法在积分计算中的应用,计算多重积分是蒙特卡罗方法的重要应用领域之一。本章着重介绍计算定积分的蒙特卡罗方法的各种基本技巧，而这些技巧在粒子输运问题中也是适用的。,蒙特卡罗方法求积分,蒙特卡罗方法求积分的一般规则如下：任何一个积分，都可看作某个随机变量的期望值，因此，可以用这个随机变量的平均值来近似它。,设欲求积分其中，PP(x1，x2，xs) 表示 s 维空间的点，Vs表示积分区域。取Vs上任一联合概率密度函数 f (P)，令则即是随机变量 g(P) 的数学期望，P的分
2、布密度函数为 f (P) 。现从 f (P) 中抽取随机向量 P 的 N 个样本：Pi，i1，2，N， 则就是的近似估计。,重要抽样,偏倚抽样和权重因子 取Vs上任一联合概率密度函数 f1(P)，令则有现从 f1(P) 中抽样 N 个点：Pi，i1，2，N， 则就是的又一个无偏估计。,重要抽样和零方差技巧 要使 最小，就是使泛函If1 极小。利用变分原理，可以得到最优的 f1(P) 为,特别地，当 g(P)0 时，有这时即 g1的方差为零。实际上，这时有不管那种情况，我们称从最优分布 fl(P)的抽样为重要抽样，称函数 | g(P) | 为重要函数。,俄国轮盘赌和分裂,分裂设整数 n1，令则于
3、是计算的问题，可化为计算 n 个i 的和来得到，而每个 gi(P) 为原来的估计 g(P) 的 1/ n ，这就是分裂技巧。,俄国轮盘赌令 0 q1，则于是变为一个两点分布的随机变量的期望值， 的特性为：这样就可以通过模拟这个概率模型来得到，这就是俄国轮盘赌。,重要区域和不重要区域 我们往往称对积分贡献大的积分区域为重要区域，或感兴趣的区域；称对积分贡献小的区域为不重要区域，或不感兴趣的区域。 考虑二重积分令R是V2上 x 的积分区域，表为 RR1+R2，其中R1是重要区域，R2是不重要区域，两者互不相交。又命Q为V2上相应于 y 的积分区域。则,通常蒙特卡罗方法，由f (x,y)抽样 (x,
4、y)的步骤是：从 fl(x) 中抽取 xi，再由 f2(y|xi) 中抽样确定 yi，然后用作为的一个无偏估计。现在，改变抽样方案如下：当xR1时，定义一个整数n(xi)1，对一个xi，抽取n(xi)个yij，j1，2，n(xi)。以平均值代替上述估计式中的 g(yi, xi) 。,当 xR2时，定义一个函数q(xi)，0 q(xi) 1，以抽样值代替上述估计式中的 g(yi, xi) 。这里是随机数。 显然，这种抽样估计技巧，就是对 xR1时，利用分裂技巧，而对 xR2时，利用俄国轮盘赌，而使估计的期望值不变。由于对重要区域多抽样，对不重要区域少观察，因此能使估计的有效性增高。,半解析（数值）方法,考虑二重积分令则x为的无偏估计。,x 的方差为而由 f (x,y)抽样 (x,y)，用 g (x,y)作为的估计，其方差为,系统抽样,我们知道，由f (x,y)抽样 (x,y)的步骤是：从 fl(x) 中抽取 xi，再由 f2(y|xi) 中抽样确定 yi，现在改变 xi 的抽样方法如下：,yi 的抽样方法不变。其方差为与通常蒙特卡罗方法相比，方差减少了约,分层抽样,考虑积分在（0，1）间插入J1个点00 1 J-1 J1令,则有现在，用蒙特卡罗方法计算j ，对每个j 利用 fj(x)中的nj 个样本xij ，那么有,
