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1、教师：孙景蔚 QQ：610350999,李子奈、潘文卿编计量经济学；杰弗里M伍德里奇编计量经济学导论( 现代观点第5版)/经济科学译丛；(美)达莫达尔N.古扎拉蒂/道恩C.波特|译者:张涛经济计量学精要；,1 计量分析概述,一、变量间的关系及计量分析的基本概念二、总体回归函数（PRF）三、随机扰动项四、样本回归函数（SRF）,数据整理后,一、变量间的关系及计量分析的基本概念,1. 变量间的关系（1）确定性关系或函数关系：研究的是确定现象非随机变量间的关系。,（2）统计依赖或相关关系：研究的是非确定现象随机变量间的关系。,对变量间统计依赖关系的考察主要是通过相关分析(correlation an
2、alysis)或回归分析(regression analysis)来完成的,注意不线性相关并不意味着不相关。有相关关系并不意味着一定有因果关系。回归分析/相关分析研究一个变量对另一个（些）变量的统计依赖关系，但它们并不意味着一定有因果关系。相关分析对称地对待任何（两个）变量，两个变量都被看作是随机的。回归分析对变量的处理方法存在不对称性，即区分应变量（被解释变量）和自变量（解释变量）：前者是随机变量，后者不是。,2. 回归分析的基本概念回归分析(regression analysis)是研究一个变量关于另一个（些）变量的具体依赖关系的计算方法和理论。其目的在于通过后者的已知或设定值，去估计和（
3、或）预测前者的（总体）均值。被解释变量（Explained Variable）或应变量（Dependent Variable）。解释变量（Explanatory Variable）或自变量（Independent Variable）。,回归分析构成计量经济学的方法论基础，其主要内容包括：（1）根据样本观察值对经济计量模型参数进行估计，求得回归方程；（2）对回归方程、参数估计值进行显著性检验；（3）利用回归方程进行分析、评价及预测。,二、总体回归函数,回归分析关心的是根据解释变量的已知或给定值，考察被解释变量的总体均值，即当解释变量取某个确定值时，与之统计相关的被解释变量所有可能出现的对应值的平
4、均值。,例2.1：一个假想的社区有100户家庭组成，要研究该社区每月家庭消费支出Y与每月家庭可支配收入X的关系。 即如果知道了家庭的月收入，能否预测该社区家庭的平均月消费支出水平。 为达到此目的，将该100户家庭划分为组内收入差不多的10组，以分析每一收入组的家庭消费支出。,由于不确定因素的影响，对同一收入水平X，不同家庭的消费支出不完全相同；但由于调查数据的完备性，给定收入水平X的消费支出Y的分布是确定的，即以X的给定值为条件的Y的条件分布（Conditional distribution）是已知的，例如：P(Y=561|X=800）=1/4。,因此，给定收入X的值Xi，可得消费支出Y的条件
5、均值（conditional mean）或条件期望（conditional expectation）：E(Y|X=Xi)。该例中：E(Y | X=800)=605描出散点图发现：随着收入的增加，消费“平均地说”也在增加，且Y的条件均值均落在一根正斜率的直线上。这条直线称为总体回归线。,在给定解释变量Xi条件下被解释变量Yi的期望轨迹称为总体回归线（population regression line），或更一般地称为总体回归曲线（population regression curve）。,称为（双变量）总体回归函数（population regression function, PRF）。,相
6、应的函数：,含义：回归函数（PRF）说明被解释变量Y的平均状态（总体条件期望）随解释变量X变化的规律。,函数形式：可以是线性或非线性的。,例2.1中，将居民消费支出看成是其可支配收入的线性函数时:,为一线性函数。其中，0，1是未知参数，称为回归系数（regression coefficients）。,三、随机扰动项,总体回归函数说明在给定的收入水平Xi下，该社区家庭平均的消费支出水平。但对某一个别的家庭，其消费支出可能与该平均水平有偏差。称为观察值围绕它的期望值的离差（deviation），是一个不可观测的随机变量，又称为随机干扰项（stochastic disturbance）或随机误差项（
7、stochastic error）。,例2.1中，给定收入水平Xi ,个别家庭的支出可表示为两部分之和：（1）该收入水平下所有家庭的平均消费支出E(Y|Xi)，称为系统性（systematic）或确定性（deterministic)部分；（2）其他随机或非确定性（nonsystematic)部分i。,称为总体回归函数（PRF）的随机设定形式。表明被解释变量除了受解释变量的系统性影响外，还受其他因素的随机性影响。由于方程中引入了随机项，成为计量经济学模型，因此也称为总体回归模型。,随机误差项主要包括下列因素：在解释变量中被忽略的因素的影响；变量观测值的观测误差的影响；模型关系的设定误差的影响；其
8、他随机因素的影响。产生并设计随机误差项的主要原因：理论的含糊性；数据的欠缺；节省原则。,四、样本回归函数（SRF）,问题：能从一次抽样中获得总体的近似的信息吗？如果可以，如何从抽样中获得总体的近似信息？例2.2：在例2.1的总体中有如下一个样本，能否从该样本估计总体回归函数PRF？,回答：能,该样本的散点图（scatter diagram)：,画一条直线以尽好地拟合该散点图，由于样本取自总体，可以该直线近似地代表总体回归线。该直线称为样本回归线（sample regression lines）。,记样本回归线的函数形式为：,称为样本回归函数（sample regression function
9、，SRF）。,注意：这里将样本回归线看成总体回归线的近似替代,则,样本回归函数的随机形式/样本回归模型：,同样地，样本回归函数也有如下的随机形式：,由于方程中引入了随机项，成为计量经济模型，因此也称为样本回归模型（sample regression model）。,回归分析的主要目的：根据样本回归函数SRF，估计总体回归函数PRF。,即，根据,估计,注意：这里PRF可能永远无法知道。,说 明,单方程计量经济学模型分为两大类：线性模型和非线性模型线性模型中，变量之间的关系呈线性关系非线性模型中，变量之间的关系呈非线性关系一元线性回归模型：只有一个解释变量,i=1,2,n,Y为被解释变量，X为解释
10、变量，0与1为待估参数， 为随机干扰项,回归分析的主要目的是要通过样本回归函数（模型）SRF尽可能准确地估计总体回归函数（模型）PRF。估计方法有多种，其中最广泛使用的是普通最小二乘法（ordinary least squares, OLS）。为保证参数估计量具有良好的性质，通常对模型提出若干基本假设。实际这些假设与所采用的估计方法紧密相关。,说 明,回归分析是要通过样本所估计的参数来代替总体的真实参数，或者说是用样本回归线代替总体回归线。尽管从统计性质上已知，如果有足够多的重复 抽样，参数的估计值的期望（均值）就等于其总体的参数真值，但在一次抽样中，估计值不一定就等于该真值。,那么，在一次抽
11、样中，参数的估计值与真值的差异有多大，是否显著，这就需要进一步进行统计检验。主要包括拟合优度检验、变量的显著性检验及参数的区间估计。,一、拟合优度检验,拟合优度检验：对样本回归直线与样本观测值之间拟合程度的检验。 度量拟合优度的指标：判定系数（可决系数）R2,问题：采用普通最小二乘估计方法，已经保证了模型最好地拟合了样本观测值，为什么还要检验拟合程度？,1、总离差平方和的分解,已知由一组样本观测值（Xi,Yi），i=1,2,n得到如下样本回归直线,如果Yi=i 即实际观测值落在样本回归“线”上，则拟合最好。 可认为，“离差”全部来自回归线，而与“残差”无关。,对于所有样本点，则需考虑这些点与样
12、本均值离差的平方和,可以证明：,TSS=ESS+RSS,记,总体平方和（Total Sum of Squares）,回归平方和（Explained Sum of Squares）,残差平方和（Residual Sum of Squares ）,Y的观测值围绕其均值的总离差(total variation)可分解为两部分：一部分来自回归线(ESS)，另一部分则来自随机势力(RSS)。,在给定样本中，TSS不变，如果实际观测点离样本回归线越近，则ESS在TSS中占的比重越大，因此拟合优度：回归平方和ESS/Y的总离差TSS,2、可决系数R2统计量,称 R2 为（样本）可决系数/判定系数（coeff
13、icient of determination)。,可决系数的取值范围：0，1 R2越接近1，说明实际观测点离样本线越近，拟合优度越高。,在收入消费支出例中，,注：可决系数是一个非负的统计量。它也是随着抽样的不同而不同。为此，对可决系数的统计可靠性也应进行检验。,二、变量的显著性检验,回归分析是要判断解释变量X是否是被解释变量Y的一个显著性的影响因素。 在一元线性模型中，就是要判断X是否对Y具有显著的线性性影响。这就需要进行变量的显著性检验。,变量的显著性检验所应用的方法是数理统计学中的假设检验。 计量经济学中，主要是针对变量的参数真值是否为零来进行显著性检验的。,1、假设检验,所谓假设检验，
14、就是事先对总体参数或总体分布形式作出一个假设，然后利用样本信息来判断原假设是否合理，即判断样本信息与原假设是否有显著差异，从而决定是否接受或否定原假设。,假设检验采用的逻辑推理方法是反证法 先假定原假设正确，然后根据样本信息，观察由此假设而导致的结果是否合理，从而判断是否接受原假设。判断结果合理与否，是基于“小概率事件不易发生”这一原理的,2、变量的显著性检验,检验步骤：,（1）对总体参数提出假设 H0： 1=0， H1：10,（2）以原假设H0构造t统计量，并由样本计算其值,（3）给定显著性水平，查t分布表得临界值t /2(n-2),(4) 比较，判断 若 |t| t /2(n-2)，则拒绝
15、H0 ，接受H1 ； 若 |t| t /2(n-2)，则拒绝H1 ，接受H0 ； 对于一元线性回归方程中的0，可构造如下t统计量进行显著性检验：,在上述收入消费支出例中，首先计算2的估计值,t统计量的计算结果分别为：,给定显著性水平=0.05，查t分布表得临界值 t 0.05/2(8)=2.306 |t1|2.306，说明家庭可支配收入在95%的置信度下显著，即是消费支出的主要解释变量； |t2|2.306,表明在95%的置信度下，无法拒绝截距项为零的假设。,假设检验可以通过一次抽样的结果检验总体参数可能的假设值的范围（如是否为零），但它并没有指出在一次抽样中样本参数值到底离总体参数的真值有多
16、“近”。,三、参数的置信区间,要判断样本参数的估计值在多大程度上可以“近似”地替代总体参数的真值，往往需要通过构造一个以样本参数的估计值为中心的“区间”，来考察它以多大的可能性（概率）包含着真实的参数值。这种方法就是参数检验的置信区间估计。,如果存在这样一个区间，称之为置信区间（confidence interval）； 1-称为置信系数（置信度）（confidence coefficient）， 称为显著性水平（level of significance）；置信区间的端点称为置信限（confidence limit）或临界值（critical values）。,一元线性模型中，i (i=1，
17、2）的置信区间:,在变量的显著性检验中已经知道：,意味着，如果给定置信度（1-），从分布表中查得自由度为(n-2)的临界值，那么t值处在(-t/2, t/2)的概率是(1- )。表示为：,即,于是得到:(1-)的置信度下, i的置信区间是,在上述收入-消费支出例中，如果给定 =0.01，查表得：,由于,于是，1、0的置信区间分别为： （0.6345,0.9195) （-433.32,226.98）,由于置信区间一定程度地给出了样本参数估计值与总体参数真值的“接近”程度，因此置信区间越小越好。要缩小置信区间，需要（1）增大样本容量n。因为在同样的置信水平下，n越大，t分布表中的临界值越小；同时，
18、增大样本容量，还可使样本参数估计量的标准差减小；,（2）提高模型的拟合优度。因为样本参数估计量的标准差与残差平方和呈正比，模型拟合优度越高，残差平方和应越小。 由于置信区间一定程度地给出了样本参数估计值与总体参数真值的“接近”程度，因此置信区间越小越好。,要缩小置信区间，需 （1）增大样本容量n，因为在同样的置信水平下，n越大，t分布表中的临界值越小；同时，增大样本容量，还可使样本参数估计量的标准差减小； （2）提高模型的拟合优度，因为样本参数估计量的标准差与残差平方和呈正比，模型拟合优度越高，残差平方和应越小。,对于一元线性回归模型,给定样本以外的解释变量的观测值X0，可以得到被解释变量的预
19、测值0 ，可以此作为其条件均值E(Y|X=X0)或个别值Y0的一个近似估计。,严格地说，这只是被解释变量的预测值的估计值，而不是预测值。原因: （1）参数估计量不确定； （2）随机项的影响,说 明,一、0是条件均值E(Y|X=X0)或个值Y0的一个无偏估计,对总体回归函数E(Y|X=X0)=0+1X，X=X0时 E(Y|X=X0)=0+1X0,于是,可见，0是条件均值E(Y|X=X0)的无偏估计。,对总体回归模型Y=0+1X+，当X=X0时,于是,二、总体条件均值与个值预测值的置信区间,1、总体均值预测值的置信区间,由于,于是,可以证明,因此,故,于是，在1-的置信度下，总体均值E(Y|X0)
20、的置信区间为,其中,2、总体个值预测值的预测区间,由 Y0=0+1X0+ 知:,于是,式中 :,从而在1-的置信度下， Y0的置信区间为,在上述收入消费支出例中，得到的样本回归函数为:,则在 X0=1000处， 0 = 103.172+0.7771000=673.84,而,因此，总体均值E(Y|X=1000)的95%的置信区间为： 673.84-2.30661.05 E(Y|X=1000) 673.84+2.30661.05或 （533.05, 814.62） 同样地，对于Y在X=1000的个体值，其95%的置信区间为： 673.84 - 2.30661.05Yx=1000 673.84 + 2.30661.05或 (372.03, 975.65),总体回归函数的置信带（域）（confidence band） 个体的置信带（域）,对于Y的总体均值E(Y|X)与个体值的预测区间（置信区间）:,（1）样本容量n越大，预测精度越高，反之预测精度越低；（2）样本容量一定时，置信带的宽度当在X均值处最小，其附近进行预测（插值预测）精度越大；X越远离其均值，置信带越宽，预测可信度下降。,
