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1、联立方程模型,程建华2022年11月24日,安徽大学经济学院,计量经济学讲义,11.1 联立方程模型的引入,单方程回归模型：单个因变量（Y）可以表示为若干个解释变量（X）的函数。只考虑X对Y的影响，不考虑Y对X的影响。 联立方程模型(Simultaneous Equation Regression Model)：包含不止一个回归方程，而且变量之间存在反馈关系的回归模型。,11.2 联立方程模型的性质,例11.1 凯恩斯收入决定模型消费函数： Ct B1 B2*Yt ut (11.1)收入恒等式：Yt Ct It (11.2)t是时间；u是随机扰动项；It St。这是最简单的厂商居民两部门的国民
2、收入理论。注意该模型的特点：（1）B2的经济含义仍然是边际消费倾向；（2）消费C对国民收入Y的反作用；（3）假定投资I是外生决定的，比如由私人部门决定。,11.2 联立方程模型的性质,名词解释： 内生变量(endogenous variable)：由系统决定的变量，即方程中的联合相关变量。 外生变量(exogenous variable)：研究系统之外决定的变量，外生变量不受因果系统的影响。,11.2 联立方程模型的性质,例11.1 凯恩斯收入决定模型消费函数： Ct B1 B2*Yt ut (11.1)收入恒等式：Yt Ct It (11.2)(11.1)和(11.2)表示了一个包含两个内生
3、变量C和Y的双方程模型。每个内生变量对应一个方程。决定内生变量变化，描述经济中某个部门结构或行为的方程称之为结构(structural)方程或行为(behavioral)方程。例如方程(11.1)。反映经济变量恒等关系的方程称为恒等式(identity)，也称为约束(constrained)方程。结构方程中的系数，例如B1和B2，称为结构系数。,11.3 联立方程的偏误OLS估计量的不一致性,例11.1 凯恩斯收入决定模型消费函数： Ct B1 B2*Yt ut (11.1)收入恒等式：Yt Ct It (11.2)利用以前的最小二乘法系数类似的可得B2的估计量b2：,(11.3),现在的问题
4、是：当方程(11.1)满足古典线性回归模型的7大假定约束方程后(11.3)式所得到的估计量是否还是最优线性无偏的？ 答案是否定的。,11.3 联立方程的偏误OLS估计量的不一致性,随机误差项ut与解释变量Yt是否相关？,(11.4),从方程(11.4)可以得到国民收入Y不但取决于投资I，还取决于随机误差项ut，因此方程(11.1)不能用OLS估计方程中的参数。如果用OLS估计，那么得到的也是有偏估计量，甚至是非一致的。 结论：联立方程使用OLS不合适！,11.3 联立方程的偏误OLS估计量的不一致性,方程(11.4)和(11.5)所示的方程是内生变量表示为外生变量和随机项的方程，此类方程称为简
5、化方程(reduced form equation)。,(11.4),(11.5),11.4 联立方程的求解间接最小二乘法,间接最小二乘法就是通过简化方程求解原始的回归方程。,(11.5),将简化方程改写成方程(11.6)形式，并估计方程(11.6)的系数：,(11.6),反过来求B1和B2：,(11.7),(11.8),11.4 联立方程模型的识别,利用间接最小二乘法可以估计联立方程模型中的参数，能否总是通过简化方程求解原始的回归方程呢？,例11.2 需求和供给模型：,(11.9),(11.10),(11.11),方程(11.9)(11.11)的内生变量是Qt和Pt。,0,2,4,6,8,1
6、0,12,14,7,6,5,4,2,1,Q,P,11.4 联立方程模型的识别,.,.,.,.,.,.,.,.,P对Q的散点图,0,2,4,6,8,10,12,14,7,6,5,4,2,1,Q,P,11.4 联立方程模型的识别,每一点都表示了需求曲线和供给曲线的交点。,0,2,4,6,8,10,12,14,7,6,5,4,3,2,1,E,Q,P,s2,P,D2,Q,D1,S1,11.4 联立方程模型的识别,既不能决定供给曲线，也不能决定需求曲线。,0,2,4,6,8,10,12,14,7,6,5,4,3,2,1,E,Q,P,s,P,D2,Q,D1,D3,11.4 联立方程模型的识别,供给曲线确定
7、。为什么？,0,2,4,6,8,10,12,14,7,6,5,4,3,2,1,E,Q,P,s3,P,D,Q,s1,s2,11.4 联立方程模型的识别,需求曲线确定。为什么？,11.4 联立方程模型的识别,识别问题(identification)：能否唯一估计方程参数的问题。恰度识别(exactly identified)：能够唯一的估计方程参数。不可识别(unidentified)：无法估计方程参数。过度识别(overidentified)：方程中的一个或几个参数有若干个估计值。,11.4 联立方程模型的识别,X + Y = 03X + 2Y = 1,X = 1，Y1,X + Y = 0X +
8、 Y = 1,方程无解,X + Y Z = 02X + 3Y 3Z = 3,X = 0，YZ，无数解,11.4 联立方程模型的识别,X + Y = 03X + 2Y = 1,X = 1，Y1,X + Y = 0X + Y = 1,方程无解,X + Y Z = 02X + 3Y 3Z = 3,X = 0，YZ，无数解,不可识别,恰度识别,11.4 联立方程模型的识别,如何知道联立方程有什么样的解呢？以例11.2为讨论对象。,例11.2 需求和供给模型：,(11.9),(11.10),(11.11),方程(11.9)(11.11)的内生变量是Qt和Pt。,11.4 联立方程模型的识别,（1）不可识
9、别情形,从供给等于需求均衡条件出发得到：,(11.12),(11.13),(11.16),(11.14),(11.15),(11.17),(11.18),两个方程(11.13)和(11.16)，需要决定四个未知参数A1、B1、A2、B2，需求和供给方程都是不可识别的。,11.4 联立方程模型的识别,（2）恰度识别情形,其中，Xt是消费者收入。从供给等于需求均衡条件出发得到：,(11.21),(11.19),(11.20),11.4 联立方程模型的识别,（2）恰度识别情形从方程(11.21)可以求得均衡的价格Pt及其系数：,(11.24),(11.22),(11.23),(11.25),11.4
10、 联立方程模型的识别,（2）恰度识别情形应用均衡价格Pt代入需求函数和供给函数获得均衡需求量：,(11.28),(11.26),(11.27),(11.29),11.4 联立方程模型的识别,（2）恰度识别情形可以用OLS估计简化形式的回归方程(11.22)和(11.26)：,(11.26),(11.22),简化形式的回归方程(11.22)和(11.26)有4个回归系数14。但原始的需求函数和供给函数有5个结构系数A1、A2、A3、B1和B2。4个回归系数如何决定5个结构系数？,11.4 联立方程模型的识别,（2）恰度识别情形,(11.32),(11.30),B1和B2可由14唯一确定，供给函数
11、是恰度识别的。但A1、A2和A3却不能由14唯一确定，因为其中至少有一个结构参数是自由的，因此需求函数是不可识别的。结论：在联立方程系统中，如果一个方程包含了系统内的所有变量（内生的和外生的），那么它将不能识别。,(11.31),(11.33),11.4 联立方程模型的识别,（3）过度识别情形,其中，Xt是消费者收入，Wt是消费者财富。从供给等于需求均衡条件出发得到：,(11.36),(11.34),(11.35),(11.37),11.4 联立方程模型的识别,（3）过度识别情形,(11.38),(11.39),7个结构系数可由18定求得，但不一定是唯一的，有可能有多个解。,11.4 联立方程
12、模型的识别,（3）过度识别情形,(11.40),(11.41),7个结构系数可由18定求得，但不一定是唯一的，有可能有多个解。,(11.42),11.4 联立方程模型的识别,（3）过度识别情形,7个结构系数可由18定求得，但不一定是唯一的，有可能有多个解。比如B2就有两种计算方式，但估计值并不一定相等。,(11.43),11.4 联立方程模型的识别,联立方程模型识别总结：,联立方程模型中的方程可识别性分为三类：（1）不可识别：方程结构系数不可解，即使增大样本容量（2）恰度识别：应用间接最小二乘法可唯一确定方程结构系数（3）过度识别：利用间接最小二乘法得不到方程唯一结构系数，但可利用二阶段最小二
13、乘法（two-stage least squares, 2SLS）求过度识别模型的结构系数。,11.5 如何判定模型可识别类型,识别的阶条件：m 模型中内生变量的个数k不包括在该方程中的所有变量（内生与外生）的个数（1）若k m1，方程恰度识别（2）若k m1，方程过度识别（3）若k m1，方程不可识别,11.6 过度识别方程的估计：两阶段最小二乘法,例11.3 货币数量论中的国民收入模型,(11.44),(11.45),其中，Y收入，M货币存量，I投资支出，G政府商品和劳务支出，u1、u2随机误差项，假定I和G是外生变量首先判定系统m=2，收入方程包含了所有变量，因此k0，从而它是不可识别的
14、；货币供给方程少了两个变量，因此k2，km11，从而是过度识别的。,11.6 过度识别方程的估计：两阶段最小二乘法,例11.3 货币数量论中的国民收入模型,(11.44),(11.45),两阶段最小二乘法的基本思想：假定在货币供给函数式(11.45)中，找到一个替代变量(surrogate or proxy variable)和工具变量 (instrumental variable)来代替Y，这个变量虽与Y类似，但与u不相关。如果能得到工具变量，那么方程(11.45)就可直接使用OLS估计其参数了。问题是：如何得到这个工具变量？,11.6 过度识别方程的估计：两阶段最小二乘法,例11.3 货币
15、数量论中的国民收入模型,(11.44),(11.45),第一阶段：做Y对所有外生变量的回归，以剔除Y与随机误差项u2之间的可能存在的相关因素。,(11.46),(11.47),(11.48),11.6 过度识别方程的估计：两阶段最小二乘法,例11.3 货币数量论中的国民收入模型,(11.44),(11.45),第二阶段：过度识别的货币供给函数可写为：,(11.49),由于 与wt是不相关的，因此应用OLS得到货币供给函数式(11.45)的一致估计值。,11.7 联立方程模型的总结,联立方程的由来内生变量与外生变量结构方程或行为方程简化方程间接最小二乘法模型的可识别问题什么是2SLS？用于估计哪
16、类方程,联立方程模型的案例分析,【例子】 下表是美国各州和地方政府费用支出数据。其中，GOV为政府开支，AID为联邦政府拨款额，INC为各州收入，POP为各州人口总数，PS为小学与中学在校生人数。,联立方程模型的案例分析,（1）模型形式,（2）模型识别内生变量：GOV，AID外生变量：INC，POP，PSk1m11，m12，k11，恰度识别k2 m21，m22，k22，过度识别,联立方程模型的案例分析,（3）单方程估计,联立方程模型的案例分析,（3）单方程估计,命令行方式: tsls gov c aid pop ps inc pop,联立方程模型的案例分析,（3）单方程估计,常数项和D.W.检验没通过，残差序列存在正相关。,联立方程模型的案例分析,联立方程模型的案例分析,（4）系统方法,联立方程模型的案例分析,（4）系统方法,联立方程模型的案例分析,（4）系统方法,联立方程模型的案例分析,（5）联立方程模拟,联立方程模型的案例分析,（5）联立方程模拟,联立方程模型的案例分析,
