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1、A,B,D,E,F,M,N,专题讲解,三角形辅助线的方法,连线法,第一关,如图,AB=AD,BC=DC,求证:B=D.,连接AC,构造全等三角形,连线 构造全等,连线 构造全等,如图,AB与CD交于O, 且AB=CD，AD=BC，OB=5cm，求OD的长.,连接BD,构造全等三角形,A,C,B,D,O,第二关,角平分线性质,如图,ABC中, C =90o,BC=10,BD=6, AD平分BAC,求点D到AB的距离.,过点D作DEAB于点E,E,角平分线上的点向角两边做垂线段,PD=PE.,PD=PE,如图,OC 平分AOB,角平分线上点向两边作垂线段,过点P作PFOA,PG OB垂足为点F,点
2、G,F,G,DOE +DPE =180,DOE +DPE =180,求证:,证明:,例1,已知：如图，在四边形ABCD中，BD是ABC的角平分线，AD=CD，求证：A+C=180,D,A,B,C,M,作DMBC于M，DNBA交BA的延长线于N。, BD是ABC的角平分线（已知）1=2（角平分线定义） DNBA，DMBC（已知）N=DMB=90（垂直的定义）在NBD和MBD中 N=DMB （已证） 1=2（已证） BD=BD（公共边）NBDMBD（A.A.S）,1,2, 4=C（全等三角形的对应角相等）,N,4,3,3,2,1,*, ND=MD（全等三角形的对应边相等）, DNBA，DMBC（已
3、知）NAD和MCD是Rt在RtNAD和RtMCD中 ND=MD （已证） AD=CD（已知）RtNADRtMCD（H.L）, 3+ 4180（平角定义）， A3（已证）A+ C180（等量代换）,第三关,中垂线法,ABC中,ABAC ，A的平分线与BC的垂直平分线DM相交于D，过D作DE AB于E，作DFAC于F。 求证：BE=CF,连接DB,DC,垂直平分线上点向两端连线段,如图，已知三角形ABC中,BC边上的垂直平分线DE与角BAC的平分线交于点E，EF垂直AB交AB的延长线于点F，EG垂直AC交AC于点G。求证：(1)BF=CG (2)判定AB+AC与AF的关系,第四关,截长补短法,已知
4、在ABC中，C=2B, 1=2求证:AB=AC+CD,A,D,B,C,1,2,在AB上取点E使得AE=AC，连接DE,截长,F,在AC的延长线上取点F使得CF=CD，连接DF,补短,如图所示，已知ADBC，1=2，3=4，直线DC经过点E交AD于点D，交BC于点C。求证：AD+BC=AB,E,F,在AB上取点F使得AF=AD,连接EF,截长补短,证明：,例1,已知：如图，在四边形ABCD中，BD是ABC的角平分线，AD=CD，求证：A+C=180,D,A,B,C,E,在BC上截取BE，使BE=AB，连结DE。, BD是ABC的角平分线（已知）1=2（角平分线定义）在ABD和EBD中 AB=EB
5、（已知） 1=2（已证） BD=BD（公共边）ABDEBD（S.A.S）,1,2,4,3, 3+ 4180（平角定义），A3（已证）A+ C180 （等量代换）,3,2,1,*, A3（全等三角形的对应角相等）, AD=CD（已知），AD=DE（已证）DE=DC（等量代换）,4=C（等边对等角）,AD=DE（全等三角形的对应边相等）,证明:,例1,已知：如图，在四边形ABCD中，BD是ABC的角平分线，AD=CD，求证：A+C=180,D,A,B,C,F,延长BA到F，使BF=BC，连结DF。, BD是ABC的角平分线（已知）1=2（角平分线定义）在BFD和BCD中 BF=BC（已知） 1=2
6、（已证） BD=BD（公共边）BFDBCD（S.A.S）,1,2,4,3, FC（已证）4=C（等量代换）,3,2,1,*, FC（全等三角形的对应角相等）, AD=CD（已知），DF=DC（已证）DF=AD（等量代换）,4=F（等边对等角）, 3+ 4180 （平角定义）A+ C180 （等量代换）,DF=DC（全等三角形的对应边相等）,练习1,如图，已知ABC中，AD是BAC的角平分线，AB=AC+CD，求证：C=2B,A,B,C,D,E,1,2,2,1,证明:,在AB上截取AE，使AE=AC，连结DE。, AD是BAC的角平分线（已知）1=2（角平分线定义）在AED和ACD中 AE=AC
7、（已知） 1=2（已证） AD=AD（公共边）AEDACD（S.A.S）,3,B=4（等边对等角）,4,*, C3（全等三角形的对应角相等),又 AB=AC+CD=AE+EB（已知）EB=DC=ED（等量代换）, 3= B+4= 2B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）C=2B（等量代换）,ED=CD（全等三角形的对应边相等）,练习1,如图，已知ABC中，AD是BAC的角平分线，AB=AC+CD，求证：C=2B,A,B,C,D,F,1,2,证明:,延长AC到F，使CF=CD，连结DF。, AD是BAC的角平分线（已知）1=2（角平分线定义） AB=AC+CD，CF=CD（已知） AB
8、=AC+CF=AF（等量代换）, ACB= 2F（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）ACB=2B（等量代换）,3,2,1,*,在ABD和AFD中 AB=AF（已证） 1=2（已证） AD=AD（公共边）ABDAFD（S.A.S）, FB（全等三角形的对应角相等）, CF=CD（已知）B=3（等边对等角）,第五关,中线倍增法,如何利用三角形的中线来构造全等三角形？,可以利用倍长中线法，即把中线延长一倍，来构造全等三角形。,如图，若AD为ABC的中线，,必有结论：,A,B,C,D,E,1,2,延长AD到E，使DE=AD，连结BE（也可连结CE）。,ABDECD，,1=E，,B=2，,EC
9、=AB，CEAB。,已知，如图AD是ABC的中线，,延长AD到点E，使DE=AD，连结CE.,思考：若AB=3,AC=5求AD的取值范围？,倍长中线,如图，已知直线MNPQ，且AE平分BAN、BE平分QBA，DC是过E的任意线段，交MN于点D，交PQ于点C。求证：AD+AB=BC。,证明:,延长AE，交直线PQ于点F。,*,3,0,*,22,21,A,B,C,D,E,M,N,P,Q,1,2,3,4,F,5,第六关,周长问题转化,1.如图,ABC中,C=90o,AC=BC,AD平分ACB, DEAB.若AB=6cm,则DBE的周长是多少?,.“周长问题”的转化 借助“角平分线性质”,B,A,C,
10、D,E,BE+BD+DE,BE+BD+CD,BE+BC,BE+AC,BE+AE,AB,2.如图,ABC中, D在AB的垂直平分线上,E在AC的垂直平分线上.若BC=6cm,求ADE的周长.,.“周长问题”的转化 借助“垂直平分线性质”,B,A,C,D,E,AD+AE+DE,BD+CE+DE,BC,5.如图, ABC中，BP、CP是ABC的角平分线，MN/BC.若BC=6cm, AMN周长为13cm，求ABC的周长.,.“周长问题”的转化 借助“等腰三角形性质”,B,A,C,P,AB+AC+BC,AM+ BM+AN+NC+6,N,AM+ MP+AN+NP+6,13+6,M,AM+AN+MN+6,线段与角求相等，先找全等试试看。图中有角平分线，可向两边作垂线。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 线段计算和与差，巧用截长补短法。三角形里有中线，延长中线=中线。想作图形辅助线，切莫忘记要双添。,小结,
