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1、7.3 偏 导 数,7.3.1 偏导数的概念,7.3.2 高阶偏导数,第 7 章 多元函数微积分,1 掌握偏导数的定义；2学会求多元函数的偏导数和高阶偏导数。,本节的学习目的与要求,本节的重点与难点,一、重点:,二、难点:,1判断二元函数偏导数的存在性；2计算多元函数的偏导数。,1偏导数的定义；2二元函数偏导数的存在性；3计算二元、多元函数的偏导数。,7.3.1 偏导数的概念,引例 定量理想气体的压强p、体积V和热力学温度T之间的变化关系为当压强p和温度T两个变量同时变化时，体积V变化情况较复杂，现分两种情况考虑：（1）等温过程：如果温度T不变，体积V就成为p的一元函数，从而它关于压强p的变化
2、率为(2)等压过程：如果压强p不变，而温度T发生变化，则体积V就成为T的一元函数，从而它关于温度T的变化率为,一般地，在二元函数y=f(x,y)中，如果只有自变量x的变化，而自变量y固定（看成常量），这时z就是x的一元函数，它对x的导数就叫做二元函数对x的偏导数；如果自变量y变化，而自变量x固定（看成常量），这时z就是y的一元函数，它对y的导数就叫做二元函数对y的偏导数.,1. 偏导数的定义,记作：,如 在 处,解,2. 偏导数的计算,解,解,证,求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；,解,1,2,偏导数存在与连续的关系,？,但函数在该点处并不连续.,偏导数存在 连续.,一元函数中在某点可导
3、 连续，,多元函数中在某点偏导数存在 连续，,3,偏导数的几何意义,如图,4,几何意义:,纯偏导,混合偏导,二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.,7.3.2 高阶偏导数,解,原函数图形,偏导函数图形,偏导函数图形,二阶混合偏导函数图形,观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导函数图象间的关系：,解,混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？,定理 如果函数的两个二阶混合偏导数及在区域 D内连续，那末在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等,解,内容小结,1. 偏导数的概念及有关结论,定义; 记号; 几何意义,函数在一点偏导数存在,函数在此点连续,混合偏导数连续,与求导顺序无关,2. 偏导数的计算方法,求一点处偏导数的方法,先代后求,先求后代,利用定义,求高阶偏导数的方法,逐次求导法,(与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序),不能.,例如,思考题解答,
