《中南大学线性代数 5.1 5.2 二次型及其标准形ppt课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中南大学线性代数 5.1 5.2 二次型及其标准形ppt课件.ppt（26页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、第一节 二次型及其标准形,第五章,二、二次型的表示方法,一、二次型及其标准形的概念,三、化二次型为标准形,一、二次型及其标准形的概念,称为二次型.,只含有平方项的二次型,称为二次型的标准形（或法式）,若标准形的系数只取1，-1或0，即,称为二次型的规范形,1用和号表示,对二次型,二、二次型的表示方法,2用矩阵表示,在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系,解,例,设,三、化二次型为标准形,对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形,则,矩阵的合同是一
2、种等价关系，具有性质：,说明,用正交变换化二次型为标准形的具体步骤,解,1写出对应的二次型矩阵，并求其特征值,例2,从而得特征值,2.求特征向量,即得正交向量组,对于实对称阵不同特征值的特征向量正交，,3将正交向量组单位化,于是所求正交变换为,解,例3,1.若二次型含有 的平方项，则先把含有 的乘积项集中，进行配方，使得配方后的项中不再含有这个变量，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过这样的非退化线性变换，就得到标准形;,拉格朗日配方法，步骤如下：,2.若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性变换,化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方法配方.,化二次型为标准形，若不限于正交变换，则可用,解,例1,所用变换矩阵为,解,例2,由于所给二次型中无平方项，所以,再配方，得,所用变换矩阵为,说明：用不同的可逆线性变换把同一个二次型化为标准形时，二次型的标准形不是唯一的，但规范性是唯一的.,五、小结,1.二次型及其标准形的概念,3.二次型化为标准形的方法：,2.二次型的矩阵、二次型的秩、矩阵合同,拉格朗日配方法,正交变换法,（标准形中的系数为其特征值）,
