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1、两类曲线积分习题课,曲线积分,对弧长的曲线积分,对坐标的曲线积分,格林公式,曲线积分与路径无关,1.定义：第一类曲线积分（又称对弧长的曲线积分）,2.存在条件：,3.推广,一、基本内容,第一类曲线积分的计算,推广,特殊情形,几何与物理意义,存在条件：,第二类曲线积分（又称对坐标的曲线积分）,推广,性质,对坐标的曲线积分与,曲线的方向有关.,第二类曲线积分的计算,定理,特殊情形,格林公式,2.它是Newton-Leibniz公式在二重积分情形下的推广.,1.Green公式的实质：沟通了沿闭曲线的第二类曲线积分与该闭曲线所围的闭区域上的二重积分的之间的联系。,定理 设D 是单连通域 ,在D 内,具
2、有一阶连续偏导数,(1)沿D 中任意光滑闭曲线L,有,(2)对D 中任一分段光滑曲线 L,曲线积分,(3),(4)在D 内每一点都有,与路径无关, 只与起止点有关.,函数,则以下四个条件等价:,在 D 内是某一函数,的全微分,即,在第一象限中所围图形的边界.,提示,解,例,二、例题,故,例,其中L是圆周,解,因积分曲线L关于,被积函数x是L上,被积函数,因积分曲线L关于,对称性,计算,得,是L上,y轴对称,关于x的奇函数,x轴对称,关于y的奇函数,例 计算,其中为球面,解,化为参数方程,例 计算 其中L为,解,圆周: ，方向沿逆时针.,解,例,问 是否为全微分式?,求其一个原函数.,如是,解,在全平面成立,所以上式是全微分式.,因而一个原函数是：,全平面为单连通域，,法一,(x,y),这个原函数也可用下法“分组”凑出:,法二,因为函数u满足,故,从而,所以,问 是否为全微分式?,求其一个原函数.,如是,由此得,y的待定函数,法三,解：,选择题：,
