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1、二倍角公式:,sin2=2sincos,(S2 ).,cos2=cos2-sin2,(C2 ).,(T2 ).,因为sin2+cos2=1,所以公式(C2 )可以变形为,cos2=2cos2 - 1,或,cos2=1 - 2sin2,(C2 ).,注意：T2公式成立的条件,引申：公式变形：,升幂降角公式,降幂升角公式,升幂,降幂,例4：化简: 2sinx(sinx+cosx).,化 为一个角的三角函数形式,令,2.辅助角公式,2.辅助角公式asin x+bcos x= sin(x+)，其中sin = ,cos = .,例5:求函数y=sinx+ cosx的周期,最大值和最小值.,例6.已知函数
2、y=(sinx+cosx)2+2cos2x.(1)求它的递减区间;(2)求它的最大值和最小值.,例7.(1)求函数y=3sinx+4cosx的最大值与最小值.(2)你能用a,b表示函数y=asinx+bcosx的最大值和最小值吗?,规律:,从而y=asinx+bcosx的最大值为,y=asinx+bcosx的最小值为,注意:xR,5.函数y= cos 4x+sin 4x的最小正周期为 【解析】答案：,把下列各式化为一个角的三角函数形式,【通关题组】1.(2011新课标全国卷)设函数f(x)=则( )A.y=f(x)在(0, )内单调递增，其图象关于直线x= 对称B.y=f(x)在(0, )内单
3、调递增，其图象关于直线x= 对称C.y=f(x)在(0, )内单调递减，其图象关于直线x= 对称D.y=f(x)在(0, )内单调递减，其图象关于直线x= 对称,【解析】选D.因为f(x)=所以f(x)在(0, )内单调递减，且图象关于x= 对称.,明角度命题角度1:利用三角恒等变换研究函数的图象变换【典例3】(2014浙江高考)为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象,可以将函数y= sin3x的图象()A.向右平移 个单位 B.向左平移 个单位C.向右平移 个单位 D.向左平移 个单位【解题提示】由函数y=Asin(x+)的图象平移与变换解决.,【规范解答】选D.因为y=sin 3x+
4、cos 3x故只需将y= sin 3x的图象向左平移 个单位即可.,1.化简：【解析】原式答案：,3.(2013新课标全国卷)设当x=时,函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值,则cos=.【解析】f(x)=sin x-2cos x= sin(x+)，其中tan =-2，当x+=2k+ 时，函数f(x)取得最大值，即=2k+ -.所以cos =cos( -)=sin ，又因为tan =-2，在第四象限，所以sin =- ，即cos =- .答案：-,2.教材改编 链接教材练一练(1)(必修4P142 T4(2)改编)函数y=2cos2 +1的最小正周期为.【解析】因为y=2 +1=cos
5、 x+2,所以函数的最小正周期T= =4.答案:4,2.(2013江西高考)函数y=sin2x+2 sin2x的最小正周期T为.【解析】因为y=sin2x+ (1-cos 2x)=sin2x- cos 2x+=2sin(2x- )+ ,所以最小正周期T= =.答案:,(2)(2014山东高考)函数y= sin 2x+cos2x的最小正周期为_.【解析】因为y= sin 2x+cos2x= sin 2x+ cos 2x+ =sin(2x+ )+ ，所以T= =.答案：,3.(2014天津高考)已知函数f(x)=cosxsin(x+ )- cos2x+xR.(1)求f(x)的最小正周期.(2)求f
6、(x)在闭区间 上的最大值和最小值.【解题提示】(1)利用三角恒等变换把函数f(x)的解析式化为Asin(x+)+t的形式,从而求最小正周期.(2)根据x的取值范围求最值.,【解析】(1)由已知，有f(x)=cos x,审题路线图列2 二审结论会转换,审 题 路 线 图,解 析,温 馨 提 醒,解 析,温 馨 提 醒,审 题 路 线 图,解 析,温 馨 提 醒,T 求出1,审 题 路 线 图,解 析,温 馨 提 醒,审 题 路 线 图,(2)求f(x)在区间 上的最大值和最小值.,审 题 路 线 图,解 析,温 馨 提 醒,审 题 路 线 图,解 析,温 馨 提 醒,审 题 路 线 图,解 析
7、,温 馨 提 醒,审 题 路 线 图,解 析,温 馨 提 醒,审 题 路 线 图,解 析,温 馨 提 醒,【典例3】(1)(2013湖北高考)将函数y= cos x+sin x(xR)的图象向左平移m(m0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是( )(2)(2014汉中模拟)函数 的最小正周期等于( ),【规范解答】(1)选B.由已知当m= 时，平移后函数为y=2sin(x+ )=2cos x，其图象关于y轴对称，且此时m最小.(2)选A.y 所以T.,3.(2011上海高考)函数 的最大值为 .【解析】故函数的最大值是答案：,4.(2012北京高考)已知函数 (1)求f(x
8、)的定义域及最小正周期.(2)求f(x)的单调递减区间.,【解析】(1)由sin x0，得xk,kZ，所以定义域为x|xk,kZ.所以最小正周期T= =.(2)令所以单调递减区间为,【规范解答4】三角变换在研究三角函数中的应用【典例】(12分)(2013陕西高考)已知向量a=（cos x, ）,b=( sin x,cos 2x),xR,设函数f(x)=ab.(1)求f(x)的最小正周期.(2)求f(x)在 上的最大值和最小值.,【解题】规范步骤,水到渠成(1)f(x)=ab=cos x sin x cos 2x2分= 4分最小正周期T= =.所以f(x)= 的最小正周期为. 6分,(2) ,8
9、分由正弦曲线y=sin x在 上的图象知， ,即x= 时，f(x)取得最大值1;当 ,即x=0时，f(x)取得最小值- . 10分所以，f(x)在 上的最大值和最小值分别为1, .12分,【变题】变式训练，能力迁移(2014朝阳模拟)已知函数f(x)=(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间.(2)求函数f(x)在 上的最小值.,【解析】(1)所以函数f(x)的最小正周期为2.由得则函数f(x)的单调递减区间是,(2)由 ，得则当 即x= 时，f(x)取得最小值 .,命题角度2：利用三角恒等变换研究三角函数的性质【典例4】(2014福建高考)已知函数f(x)=2cosx(sinx+cosx).(1)求 的值.(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.(本题源于教材必修4P147T11)【解题提示】(1)直接将 代入到解析式求值.(2)利用三角恒等变换将函数f(x)的解析式化简,再利用正弦型函数的性质求解.,f(x)=2sin xcos x+2cos2x=sin 2x+cos 2x+1= （1）(2)T= =.由 得 所以f(x)的单调递增区间为,
