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1、三角函数线,初中锐角三角函数是如何定义的？,O,M,P,sin=,cos=,tan =,当OP=1时，sin=MP,cos =OM,复习引入,设P（x,y)是终边上任一点,线段0P的长度为 r,复习：任意角三角函数的定义,比值叫做的正弦，记作，即,比值叫做的余弦，记作，即,比值叫做的正切，记作，即,x,角的终边,1.设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），角的三角函数是怎样定义的？,2.三角函数在各象限的函数值符号分别如何？,一全正，二正弦，三正切，四余弦.,3.公式 ， ， ( ).其数学意义如何？,终边相同的角的同名三角函数值相等.,4.角是一个几何概念，同时角的大小也具有数量
2、特征.我们从数的观点定义了三角函数，如果能从图形上找出三角函数的几何意义，就能实现数与形的完美统一.可以用何种几何元素表示任意角三角函数值？,新课讲授,一、单位圆：,1、定义：一般地，我们把半径为1的圆称为单位圆。,2、单位圆与x轴的交点： 单位圆与y轴的交点：,（1，0）和（-1，0）,（0，1）和（0，-1）,3、正射影：过P作PM垂直X轴于点M， PN垂直Y轴于点N，则点M、N分别 是点P在X轴、Y轴上的正射影,A,T,正弦线和余弦线,问题1：如图，设角为第一象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则 ， 都是正数，你能分别用一条线段表示角的正弦值和余弦值吗？,问题2：若角为第三象限
3、角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则 ， 都是负数，此时角的正弦值和余弦值分别用哪条线段表示？,正弦线和余弦线,为了简化上述表示，我们设想将线段的两个端点规定一个为始点，另一个为终点，使得线段具有方向性，带有正负值符号.根据实际需要，我们规定线段从始点到终点与坐标轴同向时为正方向，反向时为负方向.,规定了始点和终点，带有方向的线段，叫做有向线段.由上分析可知，当角为第一、三象限角时，sin、cos可分别用有向线段MP、OM表示，即MP= sin，OM=cos，那么当角为第二、四象限角时，你能检验这个表示正确吗？,思考：设角的终边与单位圆的交点为P，过点P作x轴的垂线，垂足为M，称有向线段
4、MP，OM分别为角的正弦线和余弦线.当角的终边在坐标轴上时，角的正弦线和余弦线的含义如何？,思考：设为锐角，你能根据正弦线和余弦线说明sincos1吗？,MPOMOP=1,正切线,问题1：如图，设角为第一象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则 是正数，用哪条有向线段表示角的正切值最合适？,问题2：若角为第四象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则 是负数，此时用哪条有向线段表示角的正切值最合适？,正切线,思考：若角为第二象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则 是负数，此时用哪条有向线段表示角的正切值最合适？,思考：若角为第三象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则
5、是正数，此时用哪条有向线段表示角的正切值最合适？,思考：根据上述分析，你能描述正切线的几何特征吗？,过点A（1，0）作单位圆的切线，与角的终边或其反向延长线相交于点T，则AT=tan.,思考：当角的终边在坐标轴上时，角的正切线的含义如何？,当角的终边在x轴上时，角的正切线是一个点；当角的终边在y轴上时，角的正切线不存在.,思考：观察下列不等式：你有什么一般猜想？,思考：对于不等式（其中为锐角），你能用数形结合思想证明吗？,例练讲解,例1、分别作出2/3和-3/4的正弦线、余弦线和正切线,解：在直角坐标系中做单位圆,以OX轴为始边作2/3 的终边与单位圆交于P1点,作P1M1OX轴，垂足为M1，
6、由单位圆与OX正方向的交点A作OX轴的垂线与OP的反向延长线交于T1点,则Sin(2/3)=M1P1=ON1, Cos(2/3)=OM1, Tan(2/3)=AT1,例2设是任意角，作的正弦线、余弦线、正切线， 由图证明下列各等式: （1）sincos1 ；,证明：（1）若角终边落在象限内，由 图可知sincos =ON+OM=PM+OM =OP=1 若角的终边落在轴上 则|sin|和|cos|必有一个为1，另一个为0， sincos1,象限角,轴角,证明：tan=MP/OM =sin/cos,（2）tan=sin/cos；（是锐角）,（3）|sin|+|cos|1,证明：若角终边落在象限内，
7、 由图可知，OPM中 |MP|+|OM| |OP|=1 (三角形两边之和大于第三边） 若角 终边落在轴上， |MP|和|OM|必有一个为1，另一个为0 |MP|+|OM|=1而|MP|=|ON|=| sin|，|OM|=| cos|故|sin|+|cos|1,象限角（2）,象限角（3）,轴角（3）,返回目录,例3在单位圆中画出适合下列条件的角的终边的范围,并由此写出角的集合:(1)sin ; (2)cos- .,【分析】作出满足sin= ,cos=- 的角的终边,然后根据已知条件确定角终边的范围.,【解析】 (1)如图,作直线y= 交单位圆于A,B两点,连结OA,OB,则OA与OB围成的区域即
8、为角的终边的范围,故满足条件的角的集合为,返回目录,返回目录,(2)作直线x=- 交单位圆于C,D两点,连结OC,OD,则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角终边的范围.故满足条件的角的集合为,【评析】本题的实质是解三角不等式的问题：（1）可以运用单位圆及三角函数线;（2）也可以用三角函数图象. 体现了数形结合的数学思想方法.,例3 在0 内，求使 成立的的取值范围.,例4 求函数 的定义域.,1.三角函数线是三角函数的一种几何表示，即用有向线段表示三角函数值，是今后进一步研究三角函数图象的有效工具.,5.利用三角函数线处理三角不等式问题，是一种重要的方法和技巧，也是一种数形结合的数学思想.,课堂小结,2、用字母表示有向线段时，要分清起点和终点，书写顺序要准确,3.三角函数线凡含有原点的线段，均以原点为起点不含原点的线段，均以此线段与坐标轴的公共点为起点,4、终边落在x轴上时，正弦线、正切线分别变成一个点， 终边落在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在.,
