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1、第11章三角形教材分析,北京市呼家楼中学 栾小萍,1.地位与作用,2.教学内容分析,3.教学建议,1.地位与作用,1-1三角形在不同学段的要求,1-2三角形在初中教材中的分布情况,1-3本章在教材中的地位与作用,会辨认三角形,第一学段（1-3年级）,第二学段（4-6年级）,第三学段（7-9年级）,认识三角形，了解三角形的分类，了解三边关系，了解三角形内角和，探索并掌握三角形面积公式,理解三角形及相关概念；了解三角形的稳定性；探索并证明三角形的有关性质；理解全等三角形的概念，掌握基本事实：SASASASSS;探索并掌握直角三角形的性质；探索勾股定理及逆定理并解决实际问题；探索并证明三角形中位线定
2、理；了解重心的概念；知道三角形的内心和外心；了解相似三角形的判定定理、性质定理；探索并认识锐角三角函数，能用锐角三角函数解直角三角形,1-1三角形在不同学段的要求,对三角形的认识，从生活到数学，从直观到抽象，从整体到局部,1.地位与作用,1-2三角形在初中教材中的分布情况,第一类：三角形的性质（第 11 章“三角形”，第 17 章 “勾股定理”）；第二类：两三角形之间的关系(第 12 章 “全等三角形”，第 27 章 “相似”）；第三类：由其它知识研究得出的结论存在的章节（第 13 章 “轴对称”中第 3 节“等腰三角形”，第 18 章 “平行四边形”中推导出的三角形中位线定理，第 24 章“
3、 圆”中介绍的三角形内心与外心）。,1-2三角形在初中教材中的分布情况,1-3本章的主要内容,1.地位与作用,1-3本章在教材中的作用与地位,本章的学习是学生第一次全面、深入地研究平面图形， 以前的学习都是停留在直观的层面上。本章的学习是学生第一次全面、深入地研究平面图形，以前的学习都是停留在直观的层面上，通过本章的学习可以丰富和加深学生对已学图形的认识，同时为学好其他图形打好基础。,2.教学内容分析,2-1本章教学目标,2-2本章知识框架图反应的知识体系,2-3具体内容分析,2-1本章教学目标,2-2本章知识框架图反应的知识体系,“事实概念性质（关系）结构（联系）应用”,2-2本章知识框架图
4、反应的知识体系,研究几何图形的“基本套路”,2-3-1关于三角形的内角和定理及外角性质,2-3本章具体内容分析,让学生反思操作过程，体会添加辅助线的方法，获得证明思路，感悟辅助线在几何证明中的重要作用。,2-3-1关于三角形的内角和定理及外角性质,2-3本章具体内容分析,鼓励学生从不同角度思考问题，体会作辅助线的方法，丰富学生的解题经验。,2-3-1关于三角形的内角和定理及外角性质,2-3本章具体内容分析,如果有学生利用折叠的方法，教师给与肯定，并指出在以后学习了新的几何知识（全等三角形及轴对称等内容）后，我们也能说明它的合理性。,2-3-1关于三角形的内角和定理及外角性质,2-3本章具体内容
5、分析,命题I.32 延长三角形的任意一边所形成的外角，等于不相邻两个内角之和，三个角的和等于180,先有“外角性质”，再有“三角形内角和定理”,2-3-1关于三角形的外角,学生容易忽视三角形的外角和性质的应用原因分析：学生层面：1.原有知识（三角形内角和、邻补角等）对学生思维的固化； 2.对三角形外角的概念的理解不到位.教师层面：教师教学中对外角的教学的重视度低，强化不到位设计由浅入深的练习，从图形上认识三角形的外角，并灵活应用,2-3本章具体内容分析,2-3-2关于三角形的稳定性,1.四边形与三角形有着紧密的联系，研究四边形性质常常借助三角形的有关知识。2.四边形和三角形有一个本质的差异：四
6、边形不具备稳定性，三角形具有稳定性。3.教学中如果不重视这种差异，就会给理解和掌握相关的知识带来困难。比如，学生不能正确掌握正多边形的定义，其原因就在于边数大于或等于4的多边形不具有稳定性，由各边相等不能推出各个角相等，所以必须定义“各边相等，各角相等的多边形叫做正多边形”；而三角形具有稳定性，由三边相等可以推出三个角相等，所以只需定义“各边相等的三角形叫做正三角形”。,2-3本章具体内容分析,3.教学建议,3-1把握好证明的依据和要求,3-2注重探索和证明的有机结合,3-3注重思想方法的渗透,3-2把握好证明的依据和要求,证明需要做到两点：第一，出发点正确；第二，推理过程正确。在出发点正确的
7、前提下，证明要合乎逻辑，即由因得果必须有依据。初中阶段证明的依据是数学课程标准（2011年版）列出的基本事实和定义、定理、推论、性质等。,3-3把握好证明的依据和要求,几何命题的证明，大都采用以三段论为主要形式的演绎推理的方法。三段论的逻辑顺序是：大前提、小前提，结论；,证明题的表达形式：小前提结论（大前提）,因,果,由因得果的依据,3-3把握好证明的依据和要求,几何命题的证明，大都采用以三段论为主要形式的演绎推理的方法。三段论的逻辑顺序是：大前提、小前提，结论；“图形与几何”中证明命题通常采用的是“小前提，结论（大前提）”的表达形式。所以，教学中应当注意：一是大前提被后移到括号里，作为由“因
8、（小前提）”得“果（结论）”的依据，应当十分关注学生是否搞清“因、果、由因得果的依据”这三者间的逻辑关系。二是简化的三段论表述证明过程时，前一个三段论的“果”常常又作为下一个三段论的“因”，且这样的“因”省略不写，但是有学生由于搞不清楚“省略不写”的内容，知识，思维缺乏条例甚至逻辑混乱。因此，课堂教学中要考察学生能否把省略了的“因”补出来，从而使每一个三段论都完整地呈现“因、果、由因得果的依据”三个部分，提高学生思维的条理性和推理的逻辑性。,3-2注重探索和证明的有机结合,课程标准(2011年版)在课程目标中提到“在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践 等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力
9、，清晰地表达自己的想法”,探索活动是进行合情推理的过程，不仅有助于理清思路、发现结论，而且有助于发现学生的创新意识和创新精神。探索发现的结论必须通过演绎推理才能证明其正确性，证明的过程有助于发展学生的逻辑思维能力。在教学中，注重“探索发现”和“演绎证明”的有机结合，有利于实现“增强学生发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力”的课程总目标。（课本18页，为什么要证明）,3-2注重探索和证明的有机结合,以“三角形内角和定理”为例,（1）发现结论。,在纸上画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起，就得到一个平角，如图1，当把B和C分别拼在A的左右，三个角合起来形成一个平角，出现一条过点A的直线l
10、，移动后的B和C各有一条边在直线上。启发学生思考，或者组织学生交流，可以发现： l BC，从而得到A + B + C = 180。这是通过实例发现图形性质的过程，实际上，这也是证明的基本思路。启发学生由特殊到一般，通过合情推理推测出三角形内角和定理的结论。,3-1注重探索和证明的有机结合,以“三角形内角和定理”为例,（2）证明结论的正确性。,已知：ABC求证：A +B + C = 180,证明：过点A 作直线l ，使l BC l BC ， 2 = 4， 3 = 5（两直线平行，内错角相等） ,通过探索和了解此结论的证明，帮助学生体验发现结论到验证结论的过程。,1 + 4 + 5 = 180（平角定义），A + B + C = 180（等量代换）,3-2注重探索和证明的有机结合,以“三角形内角和定理”为例,（1）发现结论。,（2）证明结论的正确性。,通过探索和了解三角形内角和定理的证明，帮助学生体验发现结论到验证结论的过程。由此可见，合情推理与演绎推理是相辅相成的两种推理形式，它们具有不同的功能，但都是研究图形性质的有效工具。,3-3注重思想方法的渗透,3-3-1分类思想,3-3-2转化思想,3-3-3方程思想,
