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1、6.5 三角形内角 和定理的证明,主讲人：周嘉庆,学习目标,三角形内角和定理：三角形三个内角之和等于180。了解辅助线的作用，逐步学会添加辅助线证明和解决几何问题。,概念复习,我们通过什么判定两直线平行？,我们可以通过同位角、内错角相等，同旁内角互补来判定两直线平行,我们还学过平行线的什么性质？,我们可以通过两直线平行来得到同位角、内错角相等，同旁内角互补,今天我们就要用这些概念来证明三角形内角和定理，并去解决相关的一些问题。,方法回想,我们知道三角形三个内角的和等于180。你还记得这个结论的探索过程吗?,(1)如图,当时我们是把三角形“撕开”，把A移到了1的位置B移到了2的位置构成平角180
2、,(2)根据前面的公理和定理,你能用自己的语言说说这一结论的证明思路吗?你能用比较简捷的语言写出这一证明过程吗?与同伴交流.,如果不实际移动A和B,那么你还有其它方法可以达到同样的效果?,证明研究,已知:如图,ABC.求证:A+B+C=180,分析:延长BC到D,过点C作射线CEAB,这样,就相当于把A移到了1的位置,把B移到了2的位置。,证明:作BC的延长线CD,过点C作CEAB,1=A 2=B,又1+2+3=180,A+B+ACB=180,这就是“证明”,三角形内角和定理:三角形的内角和等于180,在这里为了证明三个角的和为180,我们把三角形的三个角转化为一个平角。这种转化思想是数学中的
3、常用方法。,过程分析,证明三角形内角和定理，还有一种方法可以把三个角“凑”到一起。比如过点A作直线PQ/BC（如图）。这个方法可行吗？,灵活多变,添加辅助线方法：在三角形顶点，一边，或者三角形外添加,花样赏析,课堂练习,1.光线以如图的角度 照射到平面镜 ,然后在平面镜 和 之间来回反射，已知 =60， =50，则 等于多少度？,解：在ABC中，得1=60，2=50 BAC=180-60-50=70 = （180-70）=55,2.如图，已知ABC中，B 和C的平分线BD，CE交点O.求证：BOC=90+1/2A,小试牛刀,证明：A+ABC+ACB=180ABC+ACB=180A,又BD、CE
4、平分ABC、ACBOBC+OCB=1/2(ABC+ACB)BOC=180（OBC+OCB),=1801/2（ABC+ACB）,=1801/2（180A）,=18090+1/2A,=90+1/2A,扩展提高,3.如图，已知在ABC中，AC=AD,BC=BE,ACB=100求ECD的度数。,解：AC=ADACD=ADC=901/2A同理可得：BCE=BEC=901/2B,又ECD+CED+CDE=180且A=B=180100=80ECD=180CEDCDE=180ADCBEC=180（901/2A）（901/2B）=1/2A+1/2B=40,4. 如图，已知AD是ABD 和ACD的公共边.求证：B
5、DC=BAC+B+C,妙题巧解,1+2=180-（BAC+ABD+ACD），1+2=180-BDCBDC=BAC+ABD+ACD（等量代换）即BDC=BAC+B+C,（方法一）证明：连接BC，得到1、2,在ABC中，BAC+ABD+ACD+1+2=180同理可证：在BDC中，1+2+BDC=180,4 . 如图，已知AD是ABD 和ACD的公共边.求证：BDC=BAC+B+C,又BDC36012（周角定义） BDC 360（ 180B3 ）（180C4 ）B+C+3+4 即BDC B+C+BAC,妙题巧解,（方法二）证明：在ABD中,1180B3，同理可得, 2180C4,方法总结,证明题的一
6、般步骤:,(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证);,(2)根据题意,画出图形;,(3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”;,(4)分析题意,探索证明思路;,(5)依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地 写出证明过程;,(6)检查表达过程是否正确,完善.,1.直角三角形两锐角之和是多少？正三角形一个内角是多少？,2.如图，在ABC中，A=60，C=70点D、E分别在AB、AC上，且DEBC，求ADE的度数?,用运动变化的观点理解认识数学,在ABC中,如果BC不动,把点A“压”向BC,那么当点A越来越接近BC时, A就越来越接近180而B和C越来越接近0由此你能想到什么?
7、,如果BC不动,把点A“拉离”BC,那么当A越来越远离BC时,A就越来越接近0而B和C则越来越大,它们的和越来越接近1800, 当把点A拉到无穷远时,便有ABAC,B和C成为同旁内角,它们的和等于180由此你能想到什么?,大胆猜想,读一读P240,课堂小结,本节主要学习了三角形内角和定理的证明及其应用。我们在学习过程中加强对图形的感知能力，结合条件和结论，寻求二者之间的桥梁，然后运用定理、公理解决问题。 在运用三角形内角和定理解题时，关键是如何把与条件和结论有通过辅助线整理在一起。,已知：如图，AMN+MNF+NFC=360，求证：ABCD,课后思考,知能强化,4.如图AB=CB=CD,AD=AE,DE=BE,求C的度数。,解：由题意可设C=X,BDC为1，BDE=2,ADE为3,AB=BC A=C=X,ABC=1802XBC=CD 1=901/2X AD=AE 3=901/2X=1DE=BE 2=DBE=ABC1,1+2+3=180 1+1+ABC1=180即：1802X+901/2=180 解得X=36 C=36,谢谢大家,本节课到此结束,
