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1、,等腰三角形,本章的内容总结及知识结构图,参考课堂精炼P22 “知识梳理”,D,等腰三角形两底角的平分线相等.,等腰三角形的其他性质：,等腰三角形两腰上的中线相等.,等腰三角形两腰上的高相等.,已知:如图,在ABC中,(1)如果ABD=ABC/2,ACE=ACB/2,那么BD=CE吗? 如果ABD=ABC/3,ACE=ACB/3呢? 由此你能得到一个什么结论?(2)如果AD=AC/2,AE=AB/2,那么BD=CE吗?如果AD=AC/3,AE=AB/3呢? 由此你能得到一个什么结论?(3)你能证明得到的结论吗？,等腰三角形的判定,（1）定义：（2）定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对
2、等边）.,在ABC中BC（已知），AB=AC（等角对等边）.,小明说,在一个三角形中，如果两个角不相等,那么这两个角所对的边也不相等.,小明在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明便是的结论一定成立.这种证明方法称为反证法(reduction to absurdity),定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形.,在ABC中,AB=AC,B=600(已知).ABC是等边三角形(有一个角是600的等腰三角形是等边三角形).,定理:三个角都相等的三角形是等边三角形.,在ABC,A=B=C. ABC是等边三角形.,等边三角形的性质及判定
3、：,直角三角形复习,一、直角三角形的性质：,知识点回顾,直角三角形：有一个角是直角的三角形,1.直角三角形有一个角是直角；,2.直角三角形的两个锐角互余；,5.直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方； (勾股定理),3.直角三角形中,30O角所对直角边是斜边的一半；,熟记以下几组勾股数: 3、4、5； 5、12、13； 7、24、25；8、15、17,4.逆命题:在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于30；,二、直角三角形的判定：,1.定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形,2. 有两个角是互余的三角形是直角三角形,3. 若三角形中，较小两边的平方和等于较大
4、边的平方， 则这个三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理）,二、直角三角形的判定：,直角三角形全等的判定定理:定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(斜边,直角边或HL).公理:三边对应相等的两个三角形全等（SSS）.公理:两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）公理:两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）推论:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）.综上所述,直角三角形全等的判定条件可归纳为:一边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等;两边对应相等的两个直角三角形全等;切记!命题:两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.即(SSA)是一个假
5、冒产品!,二、拓展提高,1.已知一个等腰三角形腰上的高与另一腰的夹角为45，顶角的度数为 .,2.等腰三角形中一腰上的中线把三角形的周长分为21cm和12cm两部分，则腰长为（ ）.,A.8cm B.14cm或15cm C. 8cm或14cm D.14cm,45或135,D,已知，如图在等腰ABC中，AB=AC，O是底边BC的中点，ODAB于D, OEAC于E.（1）OD与OE有什么数量关系；,A,D,C,B,E,O,三、合作探究,（2）若BM是一腰上的高， BM与OD，OE有什么数量关系， 请说明理由.,例1.已知：如图， A=90，B=15，BD=DC.请说明AC= BD的理由.,例题分析
6、,例2：如图，已知ADBD，ACBC，E为AB的中点，试判断DE与CE是否相等，并说明理由。,说明两条线段相等，有时还可以通过第三条线段进行等量代换。,2如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为_cm2。,49,线段的垂直平分线和角平分线的复习,知识回顾,线段垂直平行线的定理,线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等.,MNAB, CA=CB(已知),PA=PB（线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等）,1,2,知识回顾,线段垂直平行线的逆定理,和一条线段两个端点距离相等的点，在这
7、条线段的垂直平分线上.,AB=AC(已知),点A在线段BC的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）,知识回顾,在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等,角的平分线的性质定理：,A,B,O,1,2,P,E,D,C,OP平分AOB,，,PDOA,PEOB,PD=PE,（在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等）,知识回顾,A,B,O,1,2,P,E,D,C,在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.,角平分线性质定理的逆定理：,OP平分AOB,PDOA,PEOB,PD=PE.,（在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这
8、个角的平分线上）.,知识运用,例题1 写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假：,（1）钝角三角形有两个内角是锐角.（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.,如何写出一个命题的逆命题？,解：（1）如果一个三角形的两个内角是锐角， 那么这个三角形是钝角三角形.,这个逆命题是假命题.,（2）一个三角形中，如果一条边上的中线等于这条边 的一半，那么这个三角形是直角三角形.,这个逆命题是真命题.,如何证明一个命题是假命题？,如何证明一个命题是真命题？,举反例,1.画图；2.写已知，求证；3.证明,探索研究:,1.如图:107国道OA和320国道OB在某市相交于点O,在AOB的内部有工厂C和D,现要
9、修建一个货站P,使P到OA、OB的距离相等且PC=PD,用尺规作出货站P的位置(不写作法,保留作图痕迹,写出结论),1、已知：如图CB与AD相交于点O，AB/CD，OA=OB，求证：三角形DOC是等腰三角形,拓展提升,2、等腰三角形有一个内角是40度，则它其余的两个角的度数是_,3、等腰三角形有一个内角是100度，则它其余的两个角的度数是_,4、等腰三角形有一边是4厘米，另一边长是9，则它的周长是_,5、已知:等腰三角形的底角为150,腰长为2a.则它的腰上的高是_,6、若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则它的底角是_,7、在ABC与DCB 中，已知AB=CD，要使ABO DCO，请你补充
10、条件_,8、在ABC中，O是ABC内的一点，且OB=OC，1=2，3=4，证明：AOBC,9、在ABC中，已知ABC与ACB的平分线相交于点F，过点F作DE/BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD+CE=9，则线段DE的长为多少？,1、请将下面证明中的每一步理由填在括号内：,已知：如图，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，DEBA，DFCA,证明：DEBA （已知）FDE=BFD（ 两直线平 行，内错角相等）DFCA（ 已知），BFD=A （两直线平行，同位角相等）FDE=A（等量代换）,2.已知：如图，AD/CB,AD=CB. 求证:ABC CDA.,证明：ADBC（已知） 2=3（两
11、直线平行，内错角相等）在ABC和CDA中， CB=AD（已知） 3=2（已证） AC=CA（公共边相等） ABCCDA（边角边）,3.已知:如图,在ABC中,AB=AC,点D,E分别在AC、AB上,且ABD=ACE，BD与CE相交于点O。求证：（1）OB=OC;(2)BE=CD,证明（1）AB=AC（已知） ABC=ACB（等边对等角）, ABD = ACE（已知） ABC- ABD =ACB- ACE（等式性质） 即DBC= ECB,OB=OC（等角对等边）,3.已知:如图,在ABC中,AB=AC,点D,E分别在AC、AB上,且ABD=ACE，BD与CE相交于点O。求证：（1）OB=OC;(2)BE=CD,（2） AB=AC（已知） ABC=ACB（等边对等角）,在EBC和DCB中： ABC=ACB（已证） BC=CB（公共边相等） DBC= ECB（1中已证）, EBCDCB（角边角）,BE=CD（全等三角形对应边相等）,4、已知：如图，BD，CE是ABC的高，且BDCE.求证：ABC是等腰三角形.,证明：当以AB为底边，CE为高时，SABC为：ABCE1/2当以AC为底边，BD为高时，SABC为：ACBD1/2ABCE1/2=ACBD1/2BD=CEAB=ACABC是等腰三角形,
