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1、,第三章 方程,第五节 解方程的常用方法,中学代数研究,目 录,用简单原理指导解题，是解方程的基本思想，换元法就是通过换元达到化简的目的。在解高次方程时，有时引进新未知数代换原有未知数，使原方程转化成一个易解的方程。,一、换元法,例1 解方程,补充：,解：由于定义域是0|x|1,可引入三角代换 于是可变形为 即 两边平方，得 于是，得到一个二次方程,例2 解方程,解得 或 ， 或得 ，都是增根，原方程的根是,形如 （a，b，c为已知数，m，n为自然数）的方程，可令 ，将方程化为关于的整式方程。,例4 解方程,解：将原方程变形为:,令,则有 ，解得 （舍去），,由 ，解得 均为原方程的解。,例4
2、 解方程,解: 形如 或,（其中a，b，c为已知数， 为既约分式）的分式方程，,可令 ，化成一个整式方程,形如 或 （其中a，b，c为已知数， 为既约分式）的分式方程，可令 ，化成一个整式方程 。,解： 将方程右边展开经变形可得 令 ，代入上式，得解得 .由 ,解得 ；由 解得 ，它们都是原方程的解。,例6 已知实数 满足 ,求 的值。,解法一: 令 ,则,所以,故,于是 或,若 ，则,二、引入参数法,例6 已知实数 满足 ,求 的值。,解：若 ，则,所以,解法二：,令 ，则 ，所以,，,若 ，则,若 ，则,解：,形如 的方程叫做二项方程，解此方程就是求的次方根。 形如 的方程叫做三项方程，特别当 时，得方程 ，称为双二次方程。定理 如果 ，那么 二项方程的根是 。,三、二项方程和三项方程的解法,例8 解方程,解:,所以,四、因式分解法,在解高次方程时，常用因式分解（如果可能的话）法将原方程转化为几个较低次方程的积的形式，然后根据同解定理分别求解。,例10 解方程,解 所以原方程同解与方程故方程的解为:,总结,一、换元法,二、引入参数法,三、二项方程和三项方程的解法,四、因式分解法,作业：,74页77页 例3、例7、例11,Class,is,over,Thanks,
