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1、连续介质力学,连续体假说,连续体：指在物体所占据的空间中，物质是无间隙地连续地分布的,适用范围：只要研究对象的特征尺寸比物质微粒的尺寸大上几个数量级，这一模型就是充分有效的。,水分子的直径是10-10m，在10-6m的范围内，水就可以处理为连续体。,红血球的直径约810-6m，在直径为510-3m的动脉血管中，血液就可以处理为连续体。,毛细血管的内径和红血球相当，血液就不能被当作连续体。,2.1 构形,系统所有质点在给定时刻的位置的集合称为系统在该时刻的构形,t0,tT,运动,运动的两种描述方法,物质坐标：X,空间坐标：,物质描述（Lagrange 描述）,空间描述（Euler 描述）,互逆,
2、互为隐函数,连续体在变形过程中不会产生空隙或物质重叠的情况,位移：,2.2 刚体运动,刚体：两个质点变形体：所有质点,当 时，略去二阶小量，,小变形假设,小变形与大变形（真实变形）的区别,2.3.1 小变形的分解,位移关于物质坐标的梯度,小应变张量:,工程应变,小应变张量,小旋转张量:,E和Q在小形变和小转动情况下才是足够精确的量度,A点,B点,C点,已知E 任意方向上的正应变和切应变,主应变和主方向 ：,E是对称张量，因此E一定存在着三个实数主值（包括重根）和三个相互垂直的主方向,一点处所有方向中正应变的极值（包括极大值、驻值和极小值）,E的三个不变量：,小应变张量E的第一不变量就是微元体积
3、的相对增长比,平均正应变与偏应变,平均正应变,平均正应变不反映形状的变化 ，反映了体积的变化。,偏应变,应变偏量只反映形状的变化，不反映体积的变化。,2.3.3 相容条件,单连域: 必要的，充分的,多连域: 必要的，不充分的,位移单值条件：,2.4 运动的描述,2.4.1 物质导数,空间坐标保持不变,局部导数,物质坐标保持不变,物质导数,例2.8 物体进行着如下的运动：,其中a为常数。求用两种描述表达的位移、速度和加速度。,解： 运动表达式是物质描述的:,位移：,速度：,加速度：,位移：,速度：,加速度：,物质描述,空间描述,2.4.2 速度场及速度梯度张量,迹线,流线,质点的运动轨迹,某一瞬
4、时流经这些空间点的质点的速度。,速度梯度张量,x点邻域的dv是 处的速度对x点处的速度的偏离,微元线段dx的物质导数：,记ds是微元线段dx的长度（即 dx = nds ）,D的对角线元素Dii表示的是即时构形上沿坐标轴方向上的单位长度的伸长速率。,D的非对角线元素Dij表示的是沿坐标轴 和 方向的两个微元线段的夹角减小速率的一半。,形变率张量D作为对称张量，同样具有下列性质：在即时构形中任意指定的点上，过该点的各个方向上微元线段的时间变化率的极值就是形变率张量的主值，极值所在的方向就是形变率张量的主方向。存在着三个两两正交的主方向。两个主方向间的夹角的瞬间变化率为零。,涡旋张量,局部的刚体转
5、动速率,对偶矢量：,涡旋矢量,涡旋矢量w的方向就是局部刚体转动的转轴方向(即角速度的方向)，w的模就是角速度的大小。,小变形的时间变化率,同理：,前者取物质导数可得到后者，但后者的内涵则并不只限于前者。前者以参考构形作为计算的基准，在它们的定义中，微分是对物质坐标进行的；后者以即时构形作为计算的基准，微分则是对空间坐标进行的。前者只有在小变形情况下才是足够精确的，导出它们的几何意义时，屡屡用到小变形假定；而导出后者的物理意义时，却没有引入任何小变形假定，因此，它们不仅适合于小变形，也适合于大变形。,小应变张量 小旋转张量,形变率张量 涡旋张量,流体的流动,层流，湍流（紊流）,定常流：在这种流动
6、中，各空间点的速度不是时间的函数（非定常流：在这种流动中，各空间点的速度随时间变化的函数）,均匀流：在这种流动中，各空间点的速度是相同的, 简单剪切流,速度梯度张量,形变率张量,涡旋张量, 直线流动, 涡旋流动,2.5 有限变形（大变形）,不再忽略位移导数的平方项,区分参考构形和即时构形,形变梯度张量,参考构形,即时构形,令：,左Cauchy-Green形变张量,右Cauchy-Green形变张量,对称，正定的张量,对于刚体运动式：,Q 正交,Green应变张量：,考虑张量C的各元素的几何意义：,在参考构形中 方向上的微元线段的伸长比 的平方等于右Cauchy-Green张量C的相应对角线元素
7、,C的非角线元素 以余弦的形式描述了参考构形上该点处沿坐标轴 和 两个方向上的夹角的变化。,对于刚体运动式：,Q 正交,Almansi应变张量:,考虑张量B的各元素的几何意义：,如果微元线段在即时构形上恰好平行于 轴，那么它的伸长比 的平方等于 。,Green应变张量：,Almansi应变张量:,2.5.2 应变张量的性质及应用,(1) 微元面积,(2) 微元体积,(3) 形变张量的主值和主方向,C的主值均为实数。不仅如此，由于C的正定性，它的主值是正数 、 和 （包括重根）。对应于不同主值的主轴相互正交。 存在着三个两两正交的主轴。 三个两两正交的主轴方向上的单位矢量列向量组合起来，构成坐标变换矩阵M，这一坐标变换可将C的分量矩阵变换为对角阵，其对角线元素即为C的主值，即,2.5.3 变形的时间变化率,(2) 微元的物质导数,(1)形变张量的物质导数,变形梯度张量F：变形前和变形后的状态之间的关系,2.6 输运定理,物质积分,
