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1、,2.4 连续型随机变量及其概率密度函数,一、连续型随机变量的概念 定义2.8 设随机变量X的分布函数为 ，若存在非负可积函数 ，使得对于任意实数 ，都有 （215）则称X为连续型随机变量， 称 为X的概率密度函数（Probability Density Function），简称概率密度或密度. 由定义可知，连续型随机变量X的分布函数 在x点的函数值等于其概率密度函数 在区间 上的积分 类似于离散型随机变量，连续型随机变量 的概率密度函数具有如下基本性质：,（1）（非负性） 对任意的实数 ， 0； （2）（规范性） （216） 反过来，若已知一个函数 满足上述性质(1)和(2),则一定是某连续
2、型随机变量X的概率密度函数 另外，对连续型随机变量X的分布，还具有如下性质： 1.对于任意实数 ( ), = ； 2.连续型随机变量X的分布函数 是连续的,但反之不真； 3.连续型随机变量X取任一确定值的概率为0；即对于任意实数 ， = 0； 事实上，由（212）和 的连续性即知: 因为连续型随机变量取任一确定值是可能的，所以,（1）概率为零的事件未必是不可能事件；概率为1的事件也不一定是必然事件； （2）在计算连续型随机变量X落在某一区间的概率时，可不必区分是开区间、闭区间还是半开半闭区间， 即对任意的实数 ，有 (217) 这样，如果 除可数个点外导数处处连续,那么在 的导数连续点处 ,而
3、在其它点处f(x)的值可任意补充定义,不妨取为0,于是可得到X的一个概率密度函数 (218),二、常见的几种连续型分布 1均匀分布 定义2.9 若X的概率密度函数为 （219） 则称X服从区间(a, b)内的均匀分布(Uniform Distribution),记为 U(a, b) 均匀分布的特征： （1） 若XU(a, b), 则落在（a, b）内任意子区间内的概率只依赖于子区间的长度，而与子区间的位置无关 事实上，对于任意一个长度的子区间 ,（2）若X ，则X的分布函数为 （220） （3） 和 的图形分别为 图2.3,2. 指数分布 定义2.10 若X的概率密度函数为 （ 0） （221
4、）则称X服从参数为 的指数分布(Exponential Distribution),记为 ，其分布函数为 (222）指数分布的概率密度函数 和分布函数 的图形分别为 图2.4,生活中，指数分布应用很广像电子元件的使用寿命、电话的通话时间、排队时所需的等待时间都可用指数分布描述因此，指数分布在生存分析、可靠性理论和排队论中有广泛的应用 3正态分布 （1）正态分布的概念 定义2.11 若X的概率密度函数为 （223） 其中 和 为常数且 ，则称X服从参数为 的正态分布（Normal Distribution），记为 ，正态分布也叫高斯分布（Gauss）, 其分布函数为,（224） 特别地, 当 时
5、，则称正态分布 为标准正态分布,它的概率密度函数特记为 ，即 （225）它的分布函数特记为 ，即 （226 )标准正态分布的概率密度函数和分布函数的图形分别如图2.6所示：,由于 是概率密度函数，因此 . 从而,有 (227） (228）上述两个式子请熟练掌握，它在以后的计算中经常用到,（2）正态分布的特征 若 ,则其概率密度函数 具有如下特征： (1) 的图像关于直线 对称； 由此便有 ； ； (2) 的最大值为 ； (3) 愈远， 值愈小,曲线 以O 轴为渐近线； (4) 对于确定的 越小， 越大，X落在 附近的概率越大； 越大， 越小，X落在 附近的概率越小； (5) 曲线 的拐点是 和
6、,图片2.5 易知:若 ,则 . 事实上,对于任意实数 , 的分布函数 (令 ) 所以 .,这样我们便有如下定理： 定理2.2 若 ，其分布函数为 ，则对任意实数 ，有 （229） 证明 因为 ,所以 . 推论 若 ，则对于任意实数 ，有 （230） 利用（230），可将一般正态分布的概率计算转化为标准正态分布的概率计算，而标准正态分布的分布函数值可由附表2获得，这样一般正态分布的概率计算就可解决,关于标准正态分布，一个重要的公式是：对于任意实数 . (2-31)这可用 的定义证明或由下图说明这里就不做证明了. 图26 另外, 还有几个经常用到的公式： 若X ，则对于任意实数 , ,( )，有
7、 （1） ； （2） ； （3） .,特别地，如果 ，则对任意 ，有 ，当 、2、3时，分别有 ； ； ；,可见, 服从正态分布 的随机变量X，虽然理论上可以取任意实数值，但实际上它的取值落在区间 内的概率约为68.26 %;落在区间 内的概率约为95.44 %,落在区间 内的概率99.74%.因此,服从正态分布 的随机变量X落在区间 之外的概率约0.26%,还不到千分之三，这是一个小概率事件，在实际中认为它几乎不可能发生，这就是著名的“ ”准则它在实际中常用来作为质量控制的依据 在自然现象和社会现象中, 大量的随机变量都服从或近似服从正态分布，如，测量误差、炮弹落点距目标的偏差、海洋波浪的高度、一个地区的男性成年人的身高及体重、考试的成绩等正是由于生活中大量的随机变量服从或近似服从正态分布，因此，正态分布在理论与实践中都占据着特别重要的地位,
