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1、第一讲 不等式和绝对值不等式,1、不等式,1、不等式的基本性质：、对称性： 传递性：_ 、 ，a+cb+c、ab， ， 那么acbc； ab， ，那么acbc、ab0， 那么，acbd、ab0，那么anbn.（条件 ）、 ab0 那么 （条件 ）,练习：1、判断下列各命题的真假，并说明理由：（1）如果ab，那么acbc；（2）如果ab，那么ac2bc2；（3）如果ab，那么anbn(nN+)；（4）如果ab, cb-d。 2、比较(x+1)(x+2)和(x-3)(x+6)的大小。,（假命题）,（假命题）,（真命题）,（假命题）,解：因为(x+1)(x+2)-(x-3)(x+6) =x2+3x+
2、2-(x2+3x-18) =200， 所以(x+1)(x+2)(x-3)(x+6),例2、 已知ab0，cd0，求证：,例1、求证：如果ab0，cd0，那么acbd。,证明：因为ab0, cd0， 由不等式的基本性质（3）可得acbc, bcbd， 再由不等式的传递性可得acbcbd。,练习： 如果ab,cd，是否一定能得出acbd？并说明理由 。,例3、若a、b、x、yR，则 是 成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件,C,例5、已知f(x)=ax2+c，且-4f(1)-1，-1f(2)5，求f(3)的取值范围。,例4、对于实数a
3、、b、c，判断下列命题的真假：（1）若cab0，则（2）若ab, ，则a0，b0。,（真命题）,（真命题）,f(3)的取值范围是-1, 20,例6、已知a0，a2-2ab+c2 =0，bca2，试比较a、b、c的大小。,解：因为bca20，所以b、c同号；又a2+c2=2ab0，且 a0，所以b= 且c0。因为(a-c)2=a2-2ac+c2=2ab-2ac=2a(b-c )0，所以b-c0.当b-c0，即bc时，b= 得所以a2c+c3 2a3即a3-c3+a3-a2c0,b0,c0，所以2a2+ac+c20，故a-ca2，所以b2a2，即ba。又a2-2ab+b2=(a-b)2=0，所以a
4、=b，与前面矛盾，故bc.所以acb.,小结：理解并掌握不等式的六个基本性质,作业：求证：（1）如果ab, ab0，那么（2）如果ab0，cd0，那么acbd。选做题：设ab,cd，求证：ac+bd (a+b)(c+d),2、基本不等式,定理1 如果a, bR, 那么 a2+b22ab.当且仅当a=b时等号成立。探究： 你能从几何的角度解释定理1吗？ 分析：a2与b2的几何意义是正方形面积，ab的几何意义是矩形面积，可考虑从图形的面积角度解释定理。,如图把实数a，b作为线段长度，以ab为例，在正方形ABCD中，AB=a；在正方形CEFG中，EF=b.则 S正方形ABCD+S正方形CEFG=a2
5、+b2. S矩形BCGH+S矩形JCDI=2ab，其值等于图中有阴影部分的面积，它不大于正方形ABCD与正方形CEFG的面积和。 即a2+b22ab.当且仅当a=b时，两个矩形成为正方形，此时有 a2+b2=2ab。,定理2（基本不等式） 如果a，b0，那么当且仅当a=b时，等号成立。,证明：因为 =a+b-2 0， 所以a+b ， 上式当且仅当 ，即a=b时，等号成立。,称为a,b的算术平均,称为a，b的几何平均,两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。,如图在直角三角形中，CO、CD分别是斜边上的中线和高，设AD=a，DB=b，则由图形可得到基本不等式的几何解释。,例3 求证：（1）在所有
6、周长相同的矩形中，正方形的面积最大；（2）在所有面积相同的矩形中，正方形的周长最短。,结论：已知x, y都是正数。（1）如果积xy是定值p，那么当x=y时，和x+y有最小值2 ；（2）如果和x+y是定值s，那么当x=y时，积xy有最大值,A,B,E,N,M,F,D,C,Q,P,H,G,例4 某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图（右图）是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200平方米的十字型地域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为每平方米4200元，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为每平方米210元，再在四个空角（图中四个直角三角形）上铺上
7、草坪，造价为每平方米80元。（1）设总造价为S元，AD长为x米，试建立S关于x的函数关系式。（2）当x为何值时S最小，并求出这个最小值。,课堂练习：课本P10第5题、第6题、第9题5、设a, bR+,且ab，求证：(1) (2)6、设a,b,c是不全相等的正数，求证：（1）(a+b)(b+c)(c+a)8abc；（2）a+b+c9、已知x、yR,求证：,小结：理解并熟练掌握基本不等式及其应用，特别要注意利用基本不等式求最值时， 一定要满足“一正二定三相等”的条件。,作业：课本P10第7、8、10题，第11题为选做题。,3、三个正数的算术-几何平均不等式,练习：是锐角，求y=sincos2的最大
8、值。,13、在对角线有相同长度的所有矩形中，怎样的矩形周长最长，怎样的矩形面积最大？,14、已知球的半径为R，球内球圆柱的底面半径为r，高为h，则r与 h为何值时，内接圆柱的体积最大？,二、绝对值不等式,1、绝对值三角不等式 实数a的绝对值|a|的几何意义是表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离：,O,a,A,x,|a|,x,A,B,a,b,|a-b|,任意两个实数a,b在数轴上的对应点分别为A、B，那么|a-b|的几何意义是A、B两点间的距离。,联系绝对值的几何意义，从“运算”的角度研究|a|,|b|,|a+b|,|a-b|等之间的关系：,分ab0和ab0时，如下图可得|a+b|=|a|+|b
9、|,O,x,a,b,a+b,O,x,a,b,a+b,（2）当ab0,b0，如下图可得：|a+b|a|+|b|,O,b,a,x,a+b,如果a0，如下图可得：|a+b|a|+|b|,a+b,a,b,x,O,（3）如果ab=0，则a=0或b=0，易得： |a+b|=|a|+|b|,定理1 如果a, b是实数，则 |a+b|a|+|b|当且仅当ab0时，等号成立。,探究 如果把定理1中的实数a, b分别换成向量a, b, 能得出什么结果？你能解释它的几何意义吗？,O,x,y,探究 当向量a, b共线时，有怎样的结论？,这个不等式称为绝对值三角不等式。,定理1的代数证明：,探究 你能根据定理1的研究思
10、路，探究一下|a|,|b|,|a+b|,|a-b|等之间的其他关系吗？例如：|a|-|b|与|a+b|，|a|+|b|与|a-b|，|a|-|b|与|a-b|等之间的关系。,|a|-|b|a+b|, |a|+|b|a-b|, |a|-|b|a-b|.,如果a, b是实数，那么 |a|-|b|ab|a|+|b|,例1 已知0，|x-a|,|y-b|，求证： |2x+3y-2a-3b|5.,证明： |2x+3y-2a-3b|=|(2x-2a)+(3y-3b)| =|2(x-a)+3(y-b)|2(x-a)|+|3(y-b)| =2|x-a|+3|y-b|2 +3=5.所以 |2x+3y-2a-3b
11、|5.,定理2 如果a, b, c是实数，那么 |a-c|a-b|+|b-c|当且仅当(a-b)(b-c)0时，等号成立。,证明：根据绝对值三角不等式有 |a-c|=|(a-b)+(b-c)|a-b|+|b-c|当且仅当(a-b)(b-c)0时，等号成立。,B,例2 两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工，这两个地点分别位于公路路碑的第10km和第20km处。现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次。要使两个施工队每天往返的路程之和最小，生活区应该建于何处？,分析：假设生活区建在公路路碑的第xkm处，两个施工队每天往返的路程之和为S(x)k
12、m，则有 S(x)=2(|x-10|+|x-20|)，要求问题化归为求该函数的最小值，可用绝对值三角不等式求解。,练习：求证：(1)|a+b|+|a-b|2|a| (2)|a+b|-|a-b|2|b|2.用几种方法证明,D,D,C,小结：理解和掌握绝对值不等式的两个定理： |a+b|a|+|b|(a,bR,ab0时等号成立） |a-c|a-b|+|b-c|(a,b,cR,(a-b)(b-c)0时等号成立）能应用定理解决一些证明和求最值问题。,作业：课本P20第3、4、5题,2、绝对值不等式的解法,复习：如果a0，则 |x|a的解集是(-,-a)(a,+),（1）|ax+b|c和|ax+b|c(c0)型不等式的解法：换元法：令t=ax+b, 转化为|t|c和|t|c型不等式，然后再求x，得原不等式的解集。分段讨论法：,例3 解不等式|3x-1|2,例4 解不等式|2-3x|7,补充例题：解不等式,|ax+b|c(c0)型不等式比较：,课堂练习：P20第6题,利用绝对值不等式的几何意义,零点分区间法,构造函数法,作业：P20第7题、第8题(1)(3),练习：P20第8题(2),补充练习：解不等式：（1）1x+3.,答案：（1）x|0 x1或-2x-1 （2）x|-5x-1或3x7 （3）,作业,8.解不等式:,
