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1、轧钢中的浪费,1.背景,? 你见过轧钢吗?,把粗大的钢坯变成合格的钢材(如钢筋,钢板),通常要经过两道工序,第一道是粗轧(热轧),形成钢材的雏形;第二道是精轧(冷轧),得到规定长度的钢材,即成品.粗轧的长度是随机的,大体上服从正态分布,其均值可由轧机调整,方差则由设备的精度决定,不能随意调整.如果粗轧后的钢材长度大于规定的长度,则精轧时切除多出的部分;如果粗轧后的钢材长度小于规定的长度,则整根报废.因此,我们应该综合这两种情况,使得总的浪费最小.,相关问题 (1) 确定从家里出发的时间,以便不错过火车或飞机;(2) 包装机打包时均值的确定问题.,问题分析 记 x 为粗轧后钢材的长度,则为一随机
2、变量,设xN(m, 2)(注:m 时x几乎都是=0,我们这里是近似反映现实),其概率密度函数为p(x).这里已知,m待定.记,由前可知,轧钢中的浪费由两部分构成:当x=l 时,浪费钢材的长度为x-l;当xl 时,浪费钢材的长度为x.,这两种事情都有可能发生发生,由密度函数的定义可知,粗轧时的长度在区间x,x+dx内的概率为p(x)dx,因此,二者之和即总的浪费长度为,问题重述:已知成品钢材的规定长度l和粗轧后钢材长度的均方差,试确定粗轧后钢材的长度m,使得当轧机调整到m进行粗轧,再通过精轧来得到成品钢材时的浪费最小.,(2)也可由直接的方法得到:设想粗轧了N根钢材:,(2)式就是总浪费量.当然
3、,如果粗轧车间追求的是效益而不是产量的话,那么浪费的多少不应该以钢材的平均浪费量为标准,而应该以得到成品材浪费的平均长度来衡量,也即将(3)式中的分母改成PN.,2.建模与求解,平均每根成品材浪费的钢材长度为,由于l是常数,所以求(4)式的最小与只保留第一项时的最小值点一样,即,求解 为求出概率P,进行变量代换,以便服从标准正态分布,令,(5)式可表示为,(7)式就是最优解z*所满足的方程.不能求出z的解析解,只能求数值解.先从理论上探讨一下.,我们可以用图解法求解.,也可以利用标准正态分布的函数值表来制作简表,以方便查找.,例 (1)若l=2.0m,=20cm,则b=10,我们发现F(1.8)=10.41, F(1.6)=6.921,故若保留到小数点后面一位的话,z*=1.8;若要求更高的精度,则作更详细的表. z1*=1.78, z2*=1.781.从而(以z1*=1.78为例)a*=11.78, m*=2.36.此时 J1=m/P(z)-l=0.45.(2)若l=6.0m,=20cm,则b=30,我们发现F(2.2)=25.60, F(2.4)=41.89,z*=2.3; z1*=2.27, z2*=2.266.从而a*=32.27, m*=6.45.此时J1=0.53.,
