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1、运用点差法巧解圆锥曲线的中点弦问题,高中数学教师欧阳文丰制作,导 言 圆锥曲线综合题是每年高考必考的题目，这些题目的解法灵活多变，其中涉及圆锥曲线中点弦的有关问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。用点差法求解此类问题，具有构思精巧，简便易行的优点。,若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为,、,，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。,A,（x2 , y2）,M,（x1 , y1）,B,一.问题引入,例1：已知椭圆 过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程.,解法一：,韦
2、达定理斜率,韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造,二、例题讲解,例1：已知椭圆 过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被 平分，求此弦所在直线的方程.,点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率,点,作差,二、例题讲解,小结：弦中点、弦斜率问题的两种处理方法,1.联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理解决.,2.点差法:设弦的两端点坐标,代入曲线方程相减后分解 因式,便可与弦所在直线的斜率及弦的中点联系起来.,点差法,例2,二、例题讲解,二、例题讲解,例3、已知椭圆,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。,解：设弦端点,、,，弦,的中点,，则,，,又,，,两式相减得,即
3、,，即,，即,由,，得,弦中点的轨迹方程为：,二、例题讲解,例4已知椭圆,的一条准线方程是,，有一条倾斜角为,的直线交椭圆于A、B两点，若AB的,中点为,，则求椭圆的方程。,二、例题讲解,解设,，则,，且,，（1）,，（2）,得：,，,，,，,（3）,，,，（4）,，（5）由（3），（4），（5）可得,，,所求椭圆方程为,.,二、例题讲解,注：凡关于中点弦和弦中点的问题，可采用点差法求解。,三、变式练习,三、变式练习,2.弦中点问题的两种处理方法,课堂小结,（1）联立方程组,消去一个未知数,利用韦达定理；,（2）设两端点坐标,代入曲线方程相减可求出弦的斜率和弦的中点坐标（点差法）。,1、利用点差法求解圆锥曲线中点弦问题，方法简捷明快，结构精巧，很好地体现了数学美，而且应用特征明显，是训练思维、熏陶数学情感的一个很好的材料，利于培养学生的解题能力和解题兴趣。,作业：,抛物线y=x2-2x+2与直线y=mx交于P1、P2两点(1)求线段P1P2中点Q的轨迹方程；(2)0 x2求线段P1P2中点Q的最高点和最低点坐标。,
